高中数学高考也谈递推数列的通项问题教案人教版VIP免费

也谈递推数列的通项问题【摘要】用初等方法讨论了常见递推数列的通项问题。【关键词】递推数列；通项公式；初等方法中图分类号：O122文献标识码：C递推数列的通项问题高中数学的重要内容，也是高考的热点问题，又是高中数学教学的难点。本文意在用初等方法分类讨论，归纳总结中学范围内常见的递推数列的通项问题。一、方法探究定义1。如果一个数列给出了初始条件和递推公式，就称这个数列为递推数列。定义2。如果一个递推数列的递推公式是线性的，就称这个数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列。定义3。如果数列{an}满足如下两个条件：（ⅰ）ai（i=1,2,3,…,k）的值已知;(ⅱ)an+k=1(,)kjnkjjpaqnkN,pj,q为常数。就称该数列为一个k阶线性递推数列。特别地，当q=0时，称数列{an}为一个k阶齐次线性递推数列。定义4。若数列{an}满足a1=b,an+1=f(n)an+g(n)(n∈N,b≠0,f(n)和g(n)是n的函数)，则称之为一阶线性递推数列的推广形式。命题1若数列{an}满足a1=b,an+1=qan+d(bd≠0),则1)q=1时，an=b+(n-1)d；2)d=0时,an=bqn-1；3)d≠0且q≠1时,an=[bqn+(d-b)qn-1-d]/(q-1)。证明这是一阶线性递推数列，1)和2)是显然的，只证3)。由已知an+1=qan+d（n≥1）,得an=qan-1+d(n≥2),从而an+1-an=q(an-an-1),由此知{an+1-an}是等比数列，所以an+1-an=（a2-a1）qn-1=(qb+d-b)qn-1,再把an+1=qan+d代入上式，得an=[bqn+(d-b)qn-1-d]/(q-1).命题2若数列{an}满足a1=b,an+1=f(n)an+g(n)(n∈N),b≠0,f(n)和g(n)都是n的函数，则1）f(n)≡1时，an=b+11()nigi;2)g(n)≡0时，an=b11()nifi;3)an+1=fi(n)an+gi(n)(i=1,2)时，an=[g1(n)-g2(n)]/[f2(n)-f1(n)].证明这是一阶线性递推数列的推广形式。当f(n)≡1时,an+1-an=g(n),于是a2-a1=g(1),a3-a2=g(2),…,an-an-1=g(n-1),进而得an-a1=11()nigi,即an=b+11()nigi。当g(n)≡0时,有1nnaa=f(n),于是21aa=f(1),32aa=f(2),…,1nnaa=f(n-1),左右两边分别相乘得：1naa=11()nifi，因此an=b11()nifi。当an+1=f1(n)an+g1(n)及an+1=f2(n)an+g2(n)时，解方程组n+11n1n+12n2a=f(n)a+g(n)a=f(n)a+g(n)得：an=[g1(n)-g2(n)]/[f2(n)-f1(n)]。命题3若数列{an}满足a1=b,a2=c,an+1=pan+qan-1(n≥2)，且pq≠0,则当11)p+q=1时，111()()niniabcbq;2)p+q≠1且p2+4q≠0时，an=1212()()/()ff，其中1、2是方程20pq的根（1、2∈C），1()()()nfcbp;3）p+q≠1且p2+4q=0时，an=(n-1)(p/2)n-2c-(n-2)(p/2)n-1b(n∈N）.证明这是二阶齐次线性递推数列。当p+q=1时，an+1=(1-q)an+qan-1(n≥2),即an+1-an=-q(an-an-1),数列{an+1-an}是等比数列，因此an+1-an=（a2-a1）(-q)n-1=(c-b)(-q)n-1，由命题2的1)的111()()niniabcbq。当p+q≠1时，引进实数将an+1=pan+qan-1改写成：11()[(/())]nnnnaapaqpa，若数列{an+1+an}为等比数列，则=q/(p+),即20pq，此方程在复数集C中总有二根1，2，记f()=an+1+an=1()()ncbp,当p2+4q≠0时，1≠2，于是有方程组111122(),().nnnnaafaaf解得:an=1212()()/()ff。当p2+4q=0时，1=2=-1,22nnppaa1()22nppcb，即an+1=2pan+1()22nppcb=2pan+12npc2npb,21232pa=222ppacb3231(31)(32)22ppcb,31343pa=222ppacb4241(41)(42)22ppcb,…………………………………………………………，于是猜想：an=21(1)(2)22nnppncnb(n∈N），下面用数学归纳法证之：①当n=1时，显然成立。②假设当n=k(k∈N+）时命题成立，即ak=21(1)(2)22kkppkckb,那么n=k+1时，ak+1=2pak+12kpc2kpb=2(1)2(1...