高中数学选修本(理科)导数的概念(2)VIP专享VIP免费

导数的概念(2)教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数.教学重点：导数的概念以及求导数教学难点：导数的概念教学过程：一、导入新课：上节我们讨论了切线的斜率和瞬时速度.虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限.由此我们引出下面导数的概念二、新授课：(一)导数的定义1.函数f（x）在点x处的导数考虑函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）-f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=.如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|.即f’（x）==说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数.（2）是自变量x在x处的改变量，，而是函数值的改变量，可以是零.由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：（1）求函数的增量=f（x+）-f（x）；（2）求平均变化率=；(3)取极限，得导数f’(x)=。例1求y=x在x=1处的导数2.函数在开区间内的导数如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数.称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝.用心爱心专心115号编辑例2求函数y=的导数。解：=-例3已知y=.求y’说明：要弄清“函数f(x)在点x处的导数”、“导函数”、“导数”等概念之间的区别和联系：（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数.（2）如果函数f（x）在开区间（a，b）内每一点处都可导，就说f（x）在开区间（a，b）内可导这时对于开区间（a，b）内每一个确定的值x，都对应着一个确定的导数f’（x），这样就在开区间（a，b）内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f（x）的导函数，记作f’（x）或y’.即f’（x）=y’=.（3）函数y=f（x）在点x处的导数f’（x）就是导函数f’（x）在点x=x处的函数值f’（x）=f’（x）|.（4）求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导数.再计算这点的导数值.2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率.也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）.相应地，切线方程为y-y=f’（x）（x-x）例4已知曲线y=x上一点p（2，）。求：（1）点p处的切线的斜率；（2）点p处的切线方程.例5已知曲线y=x++5上一点p处的切线方程.小结：求切线方程的两个步骤：（1）先求出函数y=f（x）在点x处的导数f’（x）.（2）根据直线方程的点斜式，得切线方程为=f’（x）（x-x）.三、课堂练习（1）求曲线y=x+4在点（1，5）处的切线方程.（2）求曲线y=在点（3，3）处的切线的斜率及倾斜角.用心爱心专心115号编辑