高中数学选修本(理科)导数的概念(1)VIP专享VIP免费

导数的概念导数的几何意义●教学目标(一)教学知识点了解导数的几何意义，函数y=f(x)在一点处的导数就是曲线y=f(x)在这点处的切线的斜率，了解导数与切线斜率的关系.(二)能力训练要求1.进一步增强对导数的理解，学会求导数.2.学会通过先求函数的导数来求函数在某点处的切线的斜率与切线的方法.3.进一步增强求导数，也就是求极限的能力.(三)德育渗透目标1.培养学生的计算能力，转化问题的数学思想.2.培养学生数形结合的数学思想．●教学重点导数的几何意义的理解，导数与切线斜率的关系.●教学难点导数的几何意义的理解，导数与切线斜率的关系，用图象来加深对导数的几何意义的理解.●教学方法讲、练结合，以练为主.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上节课学习了函数在一点处的导数，以及函数的导数的定义，用公式怎么来表示呢？(学生上黑板写)［生］函数y=f(x)在点x=x0处的导数.函数y=f(x)的导数.f′(x)=y′=［师］我们观察一下，函数在点x0处的导数定义的形式有什么特点呢？［学生一齐回答］和切线的斜率的定义形式相同.［师］对.我们这节课就来学习一下导数的几何意义，以及导数与切线的斜率之间的关系.Ⅱ.讲授新课［师］因为函数在一点处的导数定义的形式与切线斜率的定义相同，所以函数在一点处的导数的几何意义，就是切线的斜率.导数是从代数方面讲的，切线是几何方面的.［板书］1.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).切线方程可表示为y－f(x0)=f′(x0)·(x－x0).2.可以利用导数求曲线的切线方程，方法：(可让学生归纳)①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0).②得切线方程y－f(x0)=f′(x0)(x－x0).特例：如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，就是切线平行于y轴，这用心爱心专心115号编辑k=tan=f′(x0)图3—7时根据切线定义，可得切线方程为x=x0.［师］我们学习了导数的几何意义，可以知道，由曲线在一点处的导数能够知道曲线在这点处的切线的特征，反过来，由曲线在一点处的切线斜率，借助图象，能够知道曲线在这点处的导数的特征.当f′(x0)>0，f′(x0)<0，f′(x0)=0时，以及f′(x0)不存在.分别说明了什么？［生］当f′(x0)>0，说明切线与x轴正向的夹角为锐角.f′(x0)<0说明切线与x轴正向的夹角为钝角.f′(x0)=0说明切线与x轴平行.f′(x0)不存在，说明切线与y轴平行.［板书］3.导数与切线的关系.①f′(x0)>0，切线与x轴正向的夹角为锐角.②f′(x0)<0，切线与x轴正向的夹角为钝角.③f′(x0)=0，切线与x轴平行.④f′(x0)不存在，切线与y轴平行.［师］下面我们来看几道例题，先求函数的导数，再得到切线的斜率来求切线方程.4.课本例题［例3］如图，已知曲线y=上一点P(2，)，求(1)点P处的切线的斜率.(2)点P处的切线方程.解：y=x3∴y′===［3x2+3xΔx+(Δx)2］=·3x2=x2即y′=x2∴y′|x=2=22=4.∴(1)点P处的切线的斜率等于4.(2)点P处的切线方程是y－=4(x－2)，即12x－3y－16=0［师］先求y′，要求哪一点的切线的斜率，只要将横坐标代入到y′中去，就可以了，这样可以求曲线上任一点的切线方程.［例4］已知曲线y=x2++5上一点P(2，)，求点P处的切线方程.解：(学生板演)y=x2++5∴y′==用心爱心专心115号编辑图3—8即y′=2x－∴y′|x=2=2·2－∴点P处的切线方程是y－(x－2)即15x－4y+8=0.5.精选例题［例1］曲线f(x)=x3+2x+1在点M处切线斜率为2，求M的坐标.［师生共析］利用求f(x)的导数f′(x)，根据斜率为2，先求出M的横坐标，再代入到f(x)中得到纵坐标.解：f(x)=x3+2x+1∴f′(x)==［3x2+2+3xΔx+(Δx)2］=3x2+2.∴f′(x)=3x2+2=2，x=0∴f(0)=1∴M的坐标为(0，1)［例2］抛物线y=x2上P点处的切线与直线3x－y+1=0的交角成45°，求P点坐标.［学生分析］要求P点坐标，可以根据题意，把P点处切线的斜率算出来，这样就转化成例1的问题了.［学生板演］解：设切线的倾斜角为α，直线的倾斜角为β 3x－y+1=0，∴y=3x+1，∴tanβ=3(45°<β<90°)若α－β=45°，tan(α－β)=1=tan45°=∴tanα=－2.若β－α=45°，tan(β－α)=1=tan45°=tanα=用心爱心专心115号...