8.5轨迹问题巩固·夯实基础一、自主梳理1.曲线与方程的关系曲线C方程f(x,y)=0.2.求轨迹方程的基本方法①直接求;②代入(相关点)法;③参数法;④定义法;⑤待定系数法.二、点击双基1.动点P到直线x=1的距离与它到点A(4,0)的距离之比为2,则P点的轨迹是…()A.中心在原点的椭圆B.中心在(5,0)的椭圆C.中心在原点的双曲线D.中心在(5,0)的双曲线答案:B2.若动圆与圆(x+2)2+y2=4外切,且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.y2+8x=0B.y2-8x=0C.y2-12x+12=0D.y2+12x-12=0解析:定义法.动圆圆心到定圆圆心(-2,0)与到直线x=4的距离相等(都是动圆的半径),∴p=6.∴y2=12(x-1),即选C.答案:C3.平面直角坐标系中,O为坐标原点,两点A(3,1)、B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为()A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-1)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0解析:直接代入法.设C(x,y),∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3).∴利用α+β=1,消去α、β得x+2y=5.答案:D4.F1、F2为椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上任一点,过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是________________________________.解析:延长F1D与F2A交于B,连结DO,可知DO=F2B=2,∴动点D的轨迹方程为x2+y2=4.答案:x2+y2=45.已知A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A.y2-=1(y≤-1)B.y2-=1C.y2-=-1D.x2-=1解析:由题意|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.故F点的轨迹是以A、B为焦点,实轴长为2的双曲线下支.又c=7,a=1,b2=48,所以轨迹方程为y2-=1(y≤-1).用心爱心专心1答案:A诱思·实例点拨【例1】求过点(0,2)的直线被椭圆x2+2y2=2所截弦的中点的轨迹方程.解:设直线方程为y=kx+2,把它代入x2+2y2=2,整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0.要使直线和椭圆有两个不同交点,则Δ>0,即k<-或k>.设直线与椭圆两个交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),中点坐标为C(x,y),则x==-,y=-=.从参数方程(k<-或k>),消去k得x2+2(y-1)2=2,且|x|<,0<y<.【例2】在△PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=-2,且△PMN的面积为1,建立适当的坐标系,求以M、N为焦点,且过点P的椭圆的方程.剖析:如下图,以直线MN为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则所求椭圆方程为+=1.显然a2、b2是未知数,但a2、b2与已知条件没有直接联系,因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元,或改造已知条件.解法一:如下图,过P作PQ⊥MN,垂足为Q,令|PQ|=m,于是可得|MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m,|QN|=|PQ|cot∠PNQ=m.∴|MN|=|MQ|-|NQ|=2m-m=m.于是S△PMN=|MN|·|PQ|=·m·m=1.用心爱心专心2因而m=,|MQ|=2,|NQ|=,|MN|=.|MP|===,|NP|===.以MN的中点为原点,MN所在直线为x轴建立直角坐标系,设椭圆方程为+=1(a>b>0).则2a=|MP|+|NP|=,2c=|MN|=,故所求椭圆方程为+=1.解法二:设M(-c,0)、N(c,0),P(x,y),y>0,则解之,得x=,y=,c=.设椭圆方程为b2x2+a2y2=a2b2,则解之,得a2=,b2=3.(以下略)讲评:解法一选择了与a较接近的未知元|PM|、|PN|,但需改造已知条件,以便利用正弦定理和面积公式;解法二以条件为主,选择了与条件联系最直接的未知元x、y、c.本题解法较多,但最能体现方程思想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法.链接·拓展若把△PMN的面积为1改为·=,求椭圆方程.提示:由tan∠PMN=,tan∠MNP=-2,易得sin∠MPN=,cos∠MPN=.用心爱心专心3由·=,得||||=.易求得|PM|=,|PN|=.进而求得椭圆方程为+=1.【例3】(2005江苏高考)如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=2PN,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.剖析:此题是以O1O2所在直线为x轴,线段O1O2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,把PM、PN的关系转化为PO1与PO2的关系,这样就把P、M、N三个动点问题转化为关于一个动点P的问题.解:作直线O1O2,以直线O1O2为x轴,线段O1O2的垂直平分线为y轴,连结O1M、O2N,设P点坐标为(x,y). PM、PN分别为⊙O1、⊙O2的切线,∴O1M⊥PM,O2N⊥PN.∴△PO1M,△PO...