高中数学竞赛标准教材讲义 函数教案VIP免费

第三章函数一、基础知识定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A→B为一个映射．定义2单射，若f:A→B是一个映射且对任意x，y∈A，xy，都有f(x)f(y)则称之为单射．定义3满射，若f:A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f:A→B是A到B上的满射．定义4一一映射，若f:A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1:A→B．定义5函数，映射f:A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数．A称为它的定义域，若x∈A，y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象．集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3x-1的定义域为{x|x≥0，x∈R}.定义6反函数，若函数f:A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1:A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x，y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y=x11的反函数是y=1-x1(x0).定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称．定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数．定义7函数的性质．（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1，x2∈I并且x1f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间．（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期．定义8如果实数aa}记作开区间（a，+∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞，a].定义9函数的图象，点集{(x，y)|y=f(x)，x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域．通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a，b>0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称．定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”．例如y=x21，u=2-x在用心爱心专心（-∞，2）上是减函数，y=u1在（0，+∞）上是减函数，所以y=x21在（-∞，2）上是增函数．注：复合函数单调性的判断方法为同增异减．这里不做严格论证，求导之后是显然的．二、方法与例题1．数形结合法．例1求方程|x-1|=x1的正根的个数.【解】分别画出y=|x-1|和y=x1的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根．例2求函数f(x)=113632424xxxxx的最大值．【解】f(x)=222222)0()1()3()2(xxxx，记点P(x，x-2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差．因为|PA|-|PA|≤|AB|=10)12(322，当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立．所以f(x)max=.102.函数性质的应用．例3设x，y∈R，且满足1)1(1997)1(1)1(1997)1(32yyxx，求x+y.【解】设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增．事实上，若a0，所以f(t)递增．由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所...