复数的基本概念及其运算一、目标要求：(1)复数的概念的发展和有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数）；复数的代数表示与向量表示。(2)掌握复数的表示方法。（3掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算（复数代数形式的加法与减法，乘法与除法）二、思想方法(1)化归思想—将复数问题实数化。(2)方程思想—利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。三、教学进程1。引人:实数的局限性，比如说：在实数范围内-2没有平方根，那么-2真的没有平方根吗？2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定，形如a+bi的数称为复数，其中a，b∈R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是．(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．复数z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(6)复数与实数不同处:①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算用心爱心专心116号编辑和开方均通行无阻．3．复数的代数运算（1）i=1，i=i，i=1，i=i；（2）i·i·i·i=1，i＋i＋i＋i=0；；四、典型例题分析①实数？②虚数？③纯虚数？④在复平面上对应的点第三象限?①复数z是实数的充要条件是：∴当m＝2时复数z为实数．②复数z是虚数的充要条件：∴当m≠3且m≠2时复数z为虚数③复数z是纯虚数的充要条件是：∴当m＝1时复数z为纯虚数．【说明】要注意复数z实部的定义域是m≠3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．例2(1).若用心爱心专心116号编辑(2).复数a+bi与c+di（a，b，c，dR）的积是纯虚数的充要条件是（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（3）已知为纯虚数求m的对应点的轨迹.例3.设复数,求实数的值.例4:计算:(2)1+i+3+…+1000【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，(2)法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+…+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i法2：设S＝1+2i+3+…+1000，则iS＝i+2+3+…+999+1000，∴(1i)S＝1+i++…+1000【说明】充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法．例5（2004上海市普通高校春季高考数学试卷18）已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.【解】由，解得，.方程的判别式.，，，由此得方程无实根.用心爱心专心116号编辑课后训练1、下列说法正确的是()A．0i是纯虚数B．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D．是虚数2、下列命题中，假命题是()A．两个复数不可以比较大小B．两个实数可以比较大小C．两个虚数不可以比较大小D．一虚数和一实数不可以比较大小3、复数1+i++…+等于()A．iB．IC．2iD．2i4、下列命题中:(1)两个复数不能比较大小;(2)若z=a+bi,则当且仅当a＝0且b≠0时,z为纯虚数;(3)(z1-z2)2+(z2-z3)2=0则z1=z2=z3;(4)x+yi=1+i用心爱心专心116号编辑
