基本不等式的证明（1）教学目标（1）了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式；（2）理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。教学过程一．问题情境1．情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么并非物体的重量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为。2．问题：如何合理地表示物体的质量呢？二．学生活动引导学生作如下思考：（1）把两次称得的物体的质量“平均”一下：（2）根据力学原理：设天平的两臂长分别为，物体的质量为，则，①，②，①，②相乘在除以，得（3）与哪个大？三．建构数学1．算术平均数与几何平均数：设为正数，则称为的算术平均数，称为的几何平均数。2．用具体数据验证得：基本不等式：即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。下面给出证明：证法1：用心爱心专心当且仅当即时，取“”。证法2：要证，只要证只要证，只要证因为最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当即时，取“”。证法3：对于正数有，3．说明：（1）基本不等式成立的条件是：（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）（3）的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点，过作弦，则，从而，而半径（4）当且仅当时，取“”的含义：一方面是当时取等号，即；另一方面是仅当时取等号，即。（5）如果，那么（当且仅当时取“”）．四．数学运用1．例题：例1．设为正数，证明下列不等式成立：（1）；（2）证明：（1）∵为正数，∴也为正数，由基本不等式得∴原不等式成立。用心爱心专心ABDDCab（图1）（2）∵均为正数，由基本不等式得，∴原不等式成立。例2．已知为两两不相等的实数，求证：证明：∵为两两不相等的实数，∴，，，以上三式相加：所以，．例3．已知都是正数，求证．证明：由都是正数，得：，，∴，即．例4．求证：．证明：∵，又，∴，∴，即．2．练习：1.给出下列结论：（1）若则用心爱心专心（2）若则（3）若，则（4）若，则其中正确的有2．课本五．回顾小结：1．算术平均数与几何平均数的概念；2．基本不等式及其应用条件；3．不等式证明的三种常用方法。六．课外作业：1．已知都是正数，求证：；2．已知都是正数，求证：．用心爱心专心
