几何概型如图7-3-1，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，现随机地向正方形ABCD内抛一粒豆子，求豆子落入四边形EFGH内的概率．上面的随机试验基本事件的结果具有等可能性与无限性，它不同于上一节所学的随机试验的基本事件的结果具有的等可能性与有限性，那如何计算上面问题的概率呢？学了本节，你将会理解并解决上述问题．学法建议我们已经研究了具有“有限性”与“等可能性”的随机试验模型——古典概型，那如果现在的随机试验模型是具有“无限性”与“等可能性”的呢，这便是本节中所要研究的几何概型——古典概型的延伸与推广，而这也正是人们喜欢尝试的科学实验方法——从有限到无限的推广，由量变到质变的飞跃．在这一节的学习中，要求能了解几何概型的基本特点；会进行简单的几何概型的计算；能了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率．一、知识网络易错点提示应注意区分等可能性事件中的古典概型与几何概型．古典概型中强调的是试验的基本事件总数的有限性，而几何概型中强调的是试验的基本事件总数的无限性．二、知识归纳1．几何概型（1）定义：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．（2）特点：①无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；②等可能性：在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件发生是等可能的．2．几何概型的概率计算在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率用心爱心专心AEFDCBHG图7-3-1几何概型定义与特点应用概率与计算．（1）D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．（2）在区域D内随机地取点是指：该点落在D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．三、释疑解难1．判断一个随机试验是否为几何概型，两条件“无限性”与“等可能性”的验证缺一不可；2．必须注意几何概型与古典概型的区别．前者的基本事件有无限个，而后者只有有限个．3．对于几何概型中的背景相同的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的．例如图7-3-2，在等腰三角形ABC中，∠B=∠C=30°，求下列事件的概率：问题1在底边BC上任取一点P，使BP＜AB；问题2在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BP＜AB．以上两问题的背景是何等的相似，但概率的计算却是不一样的．对于问题1，因为点P随机地落在线段BC上，故线段BC为区域D．以B为圆心、BA为半径画弧交BC于M，则P必须落在线段BM内才有BP＜BM=BA，于是．对于问题2，作射线AP在∠BAC内是等可能分布的，在BC上取点M，使∠AMB=75°，则BM=BA，当P落在BM内时，BP＜AB．于是所求的概率为．从以上两问题的解答中，你学到了什么？潜能开发思路分析乘客必须在6分钟内的某一时刻到达才能上车，而必须在最后的1分钟内的某一时刻到达才能立即上车．乘客在某一时刻到达站台都是一个基本事件，而这基本事解题规律我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域D内随机地取一点，该区域D中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发用心爱心专心ACPB图7-3-2[例1]已知某地铁列车每5分钟一班，在车站停靠1分钟，求乘客到达站台立即上车的概率．16图7-3-3CBA件是无限个的，于是不能用古典概型计算，应考虑用几何概型计算．[解答]如图7-3-3，当乘客在AB段的任何时刻到达都能上车，将AB段记为区域D，其表示的时间为6分钟．仅当乘客在CB段的任何时刻到达才能立即上车（记该事件为A），将CB段记为区域d，其表示的时间为1分钟．由于乘客在AB段的任何时刻到达的结果有无限多个，且都是等可能的，故由几何概型的概率计算公式得．答乘客到达站台立即上车的概率为．思路分析构成所求事件的区域d为2毫升水样，而400毫升的水则是试验所...
