二次函数性质的研究备课资源二次函数在研究二次方程中的应用有关一元二次方程实根存在性及其分布问题，一般都是根据题设的要求，直接用判别式、根与系数关系定理或求根公式等知识，通过解不等式（组）来解的．例如：k为何值时，方程x2＋2（k＋3）x＋2k＋4＝0的一根大于3，而另一根小于3？一般通过解不等式组来解决，但事实上相当麻烦．现在的问题是，如何化繁为简诱导学生去发现、构思解决类似问题的简便途径，使学生得心应手解题呢?根本的一条就是从直观上来理解它．为此，本文拟谈如何借助二次函数图象性质的直观性去研究一元二次方程的实根及其分布问题．这里最根本的一条就是从直观上来理解它，把二次函数的性质看成“不能不成立”的事实，对此，本文先用图象的直观性介绍解决这类问题的一般性结论：设y＝ax2＋bx＋c（其中a＞0），x1、x2为方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，且x1＜x2．（1）二次方程无实根或有相等二实根，抛物线与x轴无交点或只有一个交点等价于b2－4ac≤0．借助于二次函数图象，可以这样予以证明：①因a＞0，故抛物线开口向上．如图，但b2－4ac≤0，因而抛物线至多和x轴有一个交点，因此，抛物线全在x轴以上，即y≥0，对一切x成立，此时方程有相等两实根或无实根．②反之，如果y≥0，a＞0，故抛物线开口不可能向下，又抛物线不能和x轴有两个交点，即方程不能有两个不等实根．（不然的话，便有使y＜0的x如图1）故b2－4ac≤0．图1上述“证明”，并不十分严格，但它却比严格证明它的配方法来得更易，使学生从直观上接受，这样的证明教给学生之后，学生不仅相信其正确，并能形象记忆，对灵活应用它提供了极大的方便．以下结论叙述从简、自证．（2）二次方程有不等二实根，抛物线与x轴相交两点等价于（如图2）．图2（3）二次方程两实根满足x1＜k＜x2，等价于当x＝k时，y＜0（如图3），图3用心爱心专心116号编辑（4）两实根均小于某常数k，等价于b2－4ac≥0，，且x＝k时，y＞0（如图4）．图4（5）两实根均大于某常数k，等价于b2－4ac≥0，，且当x＝k时，y＞0，（如图5）．图5（6）设k1＜k2，两实根均介于是k1、k2之间，等价于b2－4ac≥0，当x＝k1，x＝k2时均有y＞0，且（如图6）．图6（7）设k1＜k2，两实根满足x1＜k1，x2＞k2等价于当x＝k1、k2时，均有y＜0，（如图7）．图7（8）设是k1＜k2，两实根中只有一根介于k1、k2之间等价于当x＝k1、k2时两函数值异号，（如图8）．图8用心爱心专心116号编辑
