第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式考点学习目标核心素养二倍角的正弦、余弦、正切公式会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式逻辑推理二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P220－P223，并思考以下问题：1．在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么结论？二倍角的正弦、余弦、正切公式名称公式推导记法正弦sin2α＝2sin__αcos__αS(α＋β)――→S2αS2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC(α＋β)――→C2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αC2α正切tan2α＝T(α＋β)――→T2αT2α■名师点拨正确理解二倍角公式(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的2倍，α是的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)10α是5α的倍角，5α是的倍角．()(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(3)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(4)对于任意角α，总有tan2α＝.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×已知sinα＝，cosα＝，则sin2α等于()A.B.C.D.答案：D1计算1－2sin222.5°的结果等于()A.B.C.D.答案：B已知tanα＝，则tan2α＝________．答案：－已知sinα＋cosα＝，则sin2α＝________．答案：－给角求值求下列各式的值．(1)sincos；(2)cos2－sin2；(3)；(4)coscos.【解】(1)sincos＝×2sincos＝×sin＝×＝.(2)cos2－sin2＝cos＝cos＝.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－.(4)原式＝＝＝＝＝.给角求值问题的两类解法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．cos4－sin4等于()A．－B．－C.D.解析：选D.原式＝·＝cos＝.2．求下列各式的值．(1)；(2)－.解：(1)＝＝tan60°＝.(2)原式＝2＝＝＝＝＝4.给值求值已知<α<π，sinα＝.(1)求tan2α的值；(2)求cos的值．【解】(1)由题意得cosα＝－，所以tanα＝－，所以tan2α＝＝＝.(2)因为sinα＝，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－，sin2α＝2sinα·cosα＝2××＝－.所以cos＝cos2α·cos＋sin2α·sin＝×＋×＝－.三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2；②cos2x＝sin＝sin＝2sincos.1．已知x∈，cosx＝，则tan2x＝()A.B．－C.D．－解析：选D.由cosx＝，x∈，得sinx＝－，所以tanx＝－，所以tan2x＝＝＝－，故选D.2．若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为()A.B．－C.D．－解析：选D.cos2α＝sin＝sin2＝2sincos，代入原式，得6sin·cos＝sin.因为α∈，3所以cos＝，所以sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.化简与证明(1)化简；(2)证明tan－tan＝2tan2α.【解】(1)原式＝＝＝＝＝＝1.(2)证明：法一：左边＝－＝＝＝＝2＝2tan2α＝右边．所以等式成立．法二：左边＝－＝＝2tan2α＝右边．故原式成立．三角函数式的化简与证明(1)化简的方法①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.(2)证明三角恒等式的方法①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．1．若α为第三象限角，则－＝________．解析：因为α为第三象限角，所以cosα＜0，sinα＜0，所以－＝－＝－＝0.答案：02．求...
