高中数学 第五章 三角函数 5.4.2.1 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性知识点一周期函数1．周期函数条件①对于函数f(x)，存在一个非零常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2.最小正周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，y＝Acos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝求最小正周期．知识点二正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．[教材解难]1．教材P202思考函数的周期性与解析式中x的系数有关．2．教材P202思考知道了一个函数的周期性和奇偶性能更容易画出函数的图象，从而得到函数的性质．[基础自测]1．下列函数中，周期为的是()A．y＝sinB．y＝sin2xC．y＝cosD．y＝cos4x解析：对于A，T＝＝4π，对于B，T＝＝π，对于C，T＝＝8π，对于D，T＝＝.1答案：D2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：由于x∈R，且f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故选A.答案：A3．下列函数中是偶函数的是()A．y＝sin2xB．y＝－sinxC．y＝sin|x|D．y＝sinx＋1解析：A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴y＝sin|x|是偶函数．答案：C4．函数y＝sin的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x＝对称解析：因为y＝sin＝cosx，又因为cos(－x)＝cosx，为偶函数，所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y轴对称．答案：B题型一求三角函数的周期[教材P201例2]例1求下列函数的周期：(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x，x∈R；(3)y＝2sin，x∈R.【解析】(1)∀x∈R，有3sin(x＋2π)＝3sinx.由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cosz的周期为2π，即cos(z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos2x，所以cos2(x＋π)＝cos2x，x∈R.由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)令z＝x－，由x∈R得z∈R，且y＝2sinz的周期为2π，即2sin(z＋2π)＝2sinz，于是2sin＝2sin，所以2sin＝2sin.由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x＋T)＝f(x)而求出相应的周期．对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos2(x＋T)＝cos2x，x∈R；对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin＝sin，x∈R.教材反思求函数周期的方法2(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)，可利用T＝来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1(1)下列函数中，不是周期函数的是()A.y＝|cosx|B．y＝cos|x|C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|(2)函数y＝2sin的周期为________．解析：(1)画出y＝sin|x|的图象，易知y＝sin|x|不是周期函数．(2)方法一因为2sin＝2sin，即2sin＝2sin.所以y＝2sin的最小正周期是6π.方法二函数的周期T＝＝＝6π.答案：(1)D(2)6π(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义，需要满足f(x＋T)＝f(x)；也可利用公式T＝计算周期．题型二正、余弦函数的奇偶性问题[经典例题]例2判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝cos；(2)f(x)＝sin(cosx)．【解析】(1)函数的定义域为R.且f(x)＝...