第二章平面解析几何初步用心爱心专心听课随笔第二节圆与方程第15课时圆与圆的位置关系【学习导航】知识网络学习要求1．掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法；2．了解用代数法研究圆的关系的优点；3．了解算法思想．【课堂互动】自学评价1．圆与圆之间有外离，外切，相交，内切，内含五种位置关系．2.设两圆的半径分别为12,rr，圆心距为d，当12drr时，两圆外离，当12drr时，两圆外切，当1212||rrdrr时，两圆相交，当12drr时，两圆内切，当12drr时，两圆内含．3.思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？【精典范例】例1：判断下列两圆的位置关系：2222(1)(2)(2)1(2)(5)16xyxy与222226706270xyxxyy（）与【解】（1）根据题意得，两圆的半径分别为1214rr和，两圆的圆心距22[2(2)](52)5.d因为12drr，所以两圆外切．（2）将两圆的方程化为标准方程，得2222(3)16,(3)36xyxy．故两圆的半径分别为1246rr和，两圆的圆心距22(03)(30)32d．因为1212||rrdrr，所以两圆相交．点评：判断两圆的位置关系，不仅仅要判断d与12rr的大小，有时还需要判断d与12rr的关系．例2：求过点(0,6)A且与圆22:10100Cxyxy切于原点的圆的方程．分析：如图，所求圆经过原点和(0,6)A，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．【解】将圆C化为标准方程，得22(5)(5)50xy，则圆心为(5,5)C，半径为52．所以经过此圆心和原点的直线方程为0xy．设所求圆的方程为222()()xaybr．由题意知，(0,0),(0,6)OA在此圆上，且圆心(,)Mab在直线0xy上，则有用心爱心专心圆与圆的位置关系外切相交内切外离内含222222(0)(0),3,(0)(6),3,032.abraabrbabr于是所求圆的方程是22(3)(3)18xy．点评：此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一性质来解题，由题意，圆心必在直线3y上，又圆心在直线0xy，从而圆心坐标为(3,3)，32r，所以所求圆的方程为22(3)(3)18xy．追踪训练一1.判断下列两个圆的位置关系：2222(1)(3)(2)1(7)(1)36xyxy与；2222(2)2232030xyxyxyxy与3．答案：（1）内切，（2）相交．2.若圆22xym与圆2268xyxy110相交，求实数m的取值范围．答案：1121m．【选修延伸】一、两圆公共弦长及公共弦所在直线方程例3:已知圆221:2610Cxyxy，圆222:42110Cxyxy，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去2x项、2y项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．【解】设两圆交点为11(,)Axy、22(,)Bxy，则AB、两点坐标满足方程组22222610,(1)42110,(2)xyxyxyxy，(1)(2)得3460xy．因为，AB、两点坐标都满足此方程，所以，3460xy即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆1C的圆心(1,3)，半径3r．又1C到直线的距离为22|13436|953(4)d．所以，2222924223()55ABrd．即两圆的公共弦长为245．点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要注重分析．例5：求过两圆22640xyx和226280xyy的交点，且圆心在直线40xy上的圆的方程．分析：所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的交点，再利用弦心距、弦长、半径之间的关系求圆半径【解】（法一）可求得两圆连心线所在直线的方程为30xy．由40,30,xyxy得圆心17(,)22．利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长50d，所以，圆半径22217|()4|8922()222dr．所以，所求圆方程为221789()()222xy，即227320xyxy用心爱心专心听课随笔（法二）设所求圆的方程为222264(628)0xyxxyy即22664280111xyxy...
