2.3.1离散型随机变量的数学期望课堂探究探究一求离散型随机变量的数学期望解决求离散型随机变量的数学期望问题的关键是求出分布列，只要求出离散型随机变量的分布列，就可以套用数学期望的公式求解．对于aX＋b型随机变量的数学期望，可以利用数学期望的性质求解，也可以求出aX＋b的分布列，再用定义求解．【典型例题1】甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．思路分析：(1)利用相互独立事件的概率求解．(2)先列出X的所有值，并求出每个X值所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝3＝，P(A2)＝C2×＝，P(A3)＝C22×＝.所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝C22×＝.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，又P(X＝1)＝P(A3)＝，P(X＝2)＝P(A4)＝，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.故X的分布列为X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.探究二特殊分布的数学期望解决此类问题，首先应依据二项分布、二点分布及超几何分布的特点，判断随机变量属于哪一种分布，再写出随机变量的分布列，然后利用特殊分布的数学期望公式求解．【典型例题2】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响．求移栽的4棵大树中：(1)两种大树各成活1棵的概率；(2)成活的棵数ξ的分布列与数学期望．思路分析：本题主要考查独立重复试验和分布列的应用，求解时可由二项分布求数学期望．解：设Ak表示甲种大树成活k棵，k＝0,1,2，Bl表示乙种大树成活l棵，l＝0,1,2，则Ak，Bl(k，l＝0,1,2)相互独立，由独立重复试验中事件发生的概率公式，得P(Ak)＝C×k×2－k，P(Bl)＝C×l×2－l.据此算得：P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，P(B0)＝，P(B1)＝，P(B2)＝.(1)所求概率为P(A1B1)＝P(A1)P(B1)＝×＝.(2)(方法1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝×＝，P(ξ＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝×＋×＝，P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝×＝.综上知ξ的分布列为ξ01234P从而，ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝(棵)．(方法2)分布列的求法同方法1，令ξ1，ξ2分别表示甲、乙两种大树成活的棵数，则ξ1～B，ξ2～B，所以E(ξ1)＝2×＝(棵)，E(ξ2)＝2×＝1(棵)，所以E(ξ)＝E(ξ1)＋E(ξ2)＝＋1＝(棵)．探究三期望的应用解决数学期望的应用问题，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件发生的可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，随机变量的数学期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中往往把数学期望最大的方案作为最佳方案进行选择．【典型例题3】某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：①投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的数学期望E(X1)＝12.②投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0＜p＜1)和1－p.经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示：X(次)012X2(万元)4.1211.7620.40(1)求a，b的值．(2)求X2的分布列．(3)若E(X1)＜E(X2)，则选择投资B项目，求此时p的取值范围．思...
