第1课时根式[目标]1.理解n次方根及根式的概念；2.能正确运用根式运算性质进行运算变换．[重点]利用根式的运算性质对式子进行化简．[难点]有条件或复杂根式的化简求值问题.知识点一a的n次方根和根式[填一填]1．a的n次方根(1)定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)表示：2.根式式子叫做根式，其中根指数是n，被开方数是a.[答一答]1.是根式吗？根式一定是无理式吗？提示：是根式．根式不一定是无理式．如是根式，但不是无理式，因为＝2是有理数．2．对“根式记号”应关注什么？提示：当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为(a∈R)；当n为大于1的偶数时，(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－，从而(±)n＝a.知识点二根式的性质[填一填](1)＝0(n∈N*，且n>1)；(2)()n＝a(n∈N*，且n>1)；(3)＝a(n为大于1的奇数)；[答一答]3．如何确定根式的符号？提示：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定；①当n为偶数时，a≥0，为非负实数；②当n为奇数时，的符号与a的符号一致，a>0时，>0；a＝0时，＝0；a<0时，<0.4.和()n二者之间形式相似，有何区别，它们分别等于什么？提示：(1)()n是实数a的n次方根的n次幂．若n为奇数，存在唯一的x∈R，使x＝，满足xn＝a，即()n＝a；若n为偶数，只有a≥0时，才有意义，在实数范围内使xn＝a成立的x有两个：(±)n＝a；而当a<0时，无意义．(2)是实数an的n次方根，当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|.综上可知，①当n为奇数，a∈R时，有＝()n＝a；②当n为偶数，a≥0时，有＝()n＝a.类型一根式的概念问题[例1](1)16的平方根为________，－27的5次方根为________．(2)已知x7＝6，则x＝________.(3)若有意义，则实数x的取值范围是________．[答案](1)±4(2)(3)[2,＋∞)[解析](1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.(2)∵x7＝6，∴x＝.(3)要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[变式训练1]有下列说法：①＝3；②16的4次方根是±2；③＝±3；④＝|x＋y|.其中正确的有②④(填上正确说法的序号)．解析：当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故＝－3，所以①错误；16的4次方根有两个，为±2，②正确；＝3，所以③错误；是正数，所以＝|x＋y|，④正确．故填②④.类型二根式的化简与运算[例2]求下列各式的值：(1)－－；(2)＋；(3)()5＋()6(b>a)．[分析]利用根式的性质化简各个根式，再进行运算．[解](1)原式＝－－＝－－＝.(2)原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11.(3)原式＝(a－b)＋|b－a|＝a－b＋b－a＝0.[变式训练2](1)化简＋的结果是(C)A．1B．2a－1C．1或2a－1D．0解析：＋＝a＋|1－a|＝(2)若＝3a－1，求a的取值范围．解：因为＝＝|3a－1|＝3a－1，所以3a－1≥0，所以a≥.所以a的取值范围为.类型三有限制条件的根式化简[例3]若代数式＋有意义，化简＋2.[分析]先借助代数式有意义确定出x的取值范围，再进行根式的化简．[解]∵代数式＋有意义，∴∴≤x≤2.∴＋2＝＋2＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝2x－1＋4－2x＝3.进行根式的化简时，我们经常忘记条件，根式有意义常忘记被开方数为0的情况，做题时应引起高度注意．[变式训练3]设－3
0C．x>0，y>0D．x<0，y<0解析：＝＝|2xy|＝－2xy，∴2xy<0，∴xy<0.3．已知x<1，化简＝.解析：∵x<1，∴原式＝||＝＝.4．若50，a－8<0.∴原式＝|a－5|＋|a－8|＝(a－5)＋(8－a)＝3.5．已知a1，n∈N*，化简＋.解：∵a
