高中数学 第三章 第二课时 两角和与差的正弦教案 苏教版必修3VIP免费

第二课时两角和与差的正弦教学目标：掌握S（α＋β）与S（α－β）的推导过程及公式特征，利用上述公式进行简单的求值与证明；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质.教学重点：两角和与差的正弦公式及推导过程.教学难点：灵活应用所学公式进行求值证明.教学过程：Ⅰ.课题导入首先，同学们回顾一下咱们前面所推导的两角和与差的余弦公式.首先，我们利用单位圆及两点间的距离公式结合三角函数的定义，推导出了两角和的余弦公式，进而推导出了两角差的余弦公式及两个诱导公式，不妨，将cos（－θ）＝sinθ中的θ用α＋β代替，看会得到什么新的结论?Ⅱ.讲授新课一、推导公式由sinθ＝cos（－θ）得：sin（α＋β）＝cos［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］＝cos（－α）cosβ＋sin（－α）sinβ又∵cos（－α）＝sinα，sin（－α）＝cosα∴sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ这一式子对于任意的α，β值均成立.将此式称为两角和的正弦公式：S（α＋β）：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ在前面，当我们推出两角和的余弦公式C（α＋β）时，将其中的β用－β代替，便得到了两角差的余弦公式，这里，也不妨将S（α＋β）中的β用－β代替，看会得到什么新的结论?sin［α＋（－β）］＝sinαcos（－β）＋cosαsin（－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ即：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ这一式子对于任意的α，β的值均成立.这一式子被称为两角差的正弦公式：S（α－β）：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ下面，看他们的应用.二、例题讲解［例1］利用和(差)角公式求75°，15°的正弦、余弦、正切值.分析：首先应将所求角75°，15°分解为某些特殊角的和或差.解：sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝·＋·＝cos75°＝cos（45°＋30°）＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝tan75°＝＝＝2＋1sin15°＝sin（45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝或sin15°＝sin（60°－45°）＝sin60°cos45°－cos60°sin45°＝或sin15°＝sin（90°－75°）＝cos75°＝cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝或cos15°＝cos（60°－45°）＝或cos15°＝cos（90°－75°）＝sin75°＝tan15°＝＝＝2－［例2］已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，β∈（π，），求sin（α－β），cos（α＋β），tan（α＋β）.分析：观察此题已知条件和公式C（α＋β），S（α－β），要想求sin（α－β），cos（α＋β），应先求出cosα，sinβ.解：由sinα＝且α∈（，π)得：cosα＝－＝－＝－；又由cosβ＝－且β∈（π，）得：sinβ＝－＝－＝－.∴sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×（－）－（－）（－）＝cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝（－）（－）－×（－）＝由公式S（α＋β）可得sin（α＋β）＝∴tan（α＋β）＝＝＝Ⅲ.课堂练习1.求证：＝证明：右＝＝＝＝左.∴原式得证.2.在△ABC中，sinA＝(0°＜A＜45°)，cosB＝(45°＜B＜90°)，求sinC与cosC的值.解：∵在△ABC中，∴A＋B＋C＝180°即C＝180°－（A＋B）又∵sinA＝且0°＜A＜45°∴cosA＝∵cosB＝且45°＜B＜90°∴sinB＝∴sinC＝sin［180°－（A＋B）］＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝sinAsinB－cosAcosB＝2对于练习1这种类型的习题，首先要仔细观察题目的结构，回忆有关公式，认真分析，一般遵循由繁到简的原则.对于练习2这种类型的习题，要仔细观察已知角与所求角的关系.做好准备工作，然后着手求解.Ⅳ.课时小结在前面推导出的C（α＋β）与cos（－α）＝sinα的基础上又推导出两公式，即：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S（α＋β））sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））同学们要注意它们之间的区别与联系，从而熟练掌握，以便灵活应用其解决一些相关的问题.Ⅴ.课后作业课本P100习题1，2，3.3