3．4函数的应用(一)考点学习目标核心素养一次函数模型会建立一次函数模型解决实际问题数学建模二次函数模型会建立二次函数模型解决实际问题数学建模幂函数模型会用解决与幂函数有关的实际问题数学建模分段函数模型会利用分段函数解决与之相关的实际问题数学建模一次函数模型为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示：(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．【解】(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.所以y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x＜96时，y1＞y2，使用“便民卡”便宜；当x＞96时，y1＜y2，使用“如意卡”便宜．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km，之后以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求火车离开北京2h时火车行驶的路程．解：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝(h)，所以0≤t≤.因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120tkm，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝13＋120t.火车离开北京2h时火车匀速行驶的时间为2－＝(h)，此时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233(km)．1二次函数模型有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．【解】设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S，则由图可得9x＋πx＋6y＝l，所以6y＝l－(9＋π)·x，所以S＝x2＋4xy＝x2＋x·[l－(9＋π)·x]＝－x2＋lx＝－·＋.要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最大．由6y＞0，得0＜x＜.因为0＜＜，所以当x＝，y＝＝，即＝时，窗户的面积S有最大值，且Smax＝.二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值．解：(1)根据题意知，空闲率是，故y关于x的函数关系式是y＝kx·，0≤x＜m.(2)由(1)知，y＝kx·＝－x2＋kx＝－＋，0≤x＜m，则当x＝时，y取得最大值，ymax＝.所以鱼群年增长量的最大值为.幂函数模型某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？【解】(1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0)，结合已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)，令t＝(0≤t≤2)，则x＝20－t2，所以y＝＋＝－(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3.故当投资稳健型产品16万元，投资风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收2益是...
