高中数学 第三章 函数概念与性质 3.3 幂函数教师用书 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

3．3幂函数考点学习目标核心素养幂函数的概念了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式数学抽象幂函数的图象掌握五种幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象特点直观想象幂函数的性质借助五种幂函数的图象，掌握五种幂函数的性质，并会应用直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P89－P91，并思考以下问题：1．幂函数的定义是什么？2．幂函数的解析式有什么特点？3．幂函数的图象有什么特点？4．幂函数的性质有哪些？1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．■名师点拨幂函数的特征(1)xα的系数为1.(2)xα的底数是自变量．(3)xα的指数为常数．只有同时满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数．2．幂函数的图象与性质(1)五种常见幂函数的图象(2)五类幂函数的性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋1∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减增增x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1，1)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．()(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．()(3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．()(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×下列函数为幂函数的是()A．y＝2x3B．y＝2x2－1C．y＝D．y＝解析：选C.y＝2x3中，x3的系数不等于1，故A不是幂函数；y＝2x2－1不是xα的形式，故B不是幂函数；y＝＝x－1是幂函数；y＝＝3x－2中x－2的系数不等于1，故D不是幂函数．在下列四个图形中，y＝x的图象大致是()解析：选D.函数y＝x－的定义域为(0，＋∞)，是减函数．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________．解析：因为y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，所以m＝1，2n－4＝0，即m＝1，n＝2，所以m＋n＝3.答案：3幂函数的概念(1)下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为()2A．1B．2C．3D．4(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为()A．1B．－3C．－1D．3【解析】(1)②⑦中自变量x在指数的位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以所以m＝1.【答案】(1)B(2)A判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝()A.B．1C.D．2解析：选C.由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.2．已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b＝()A．2B．1C.D．0解析：选A.因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.幂函数的图象及应用已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．【解】因为f(x)＝xα的图象过点P，所以f(2)＝，即2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．解决幂函数图象问题应把握的原则3(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．幂函数f(x)＝x的大致图象为()解析：选B.由于f(0)＝0，所以排除C，D选项．而f(－x)＝(－x)＝＝＝x＝f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．故选B.幂函数单调性的应用角度一比较幂的大小比较下列各题中两个值的大小．(1)2.3，2.4；(2)()－，()－；(3)(－0.31)...