高中数学 第三章 函数概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值（第2课时）函数的最大值、最小值教师用书 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

第2课时函数的最大值、最小值考点学习目标核心素养图象法求函数的最值理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能借助图象求函数的最大(小)值数学抽象，直观想象利用函数的单调性求最值会借助函数的单调性求最值逻辑推理，数学运算函数最值的应用问题能利用函数的最值解决有关的简单实际问题数学建模，数学运算问题导学预习教材P79－P81，并思考以下问题：1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？2．函数最大值、最小值的定义是什么？1．函数的最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．2．函数的最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．■名师点拨函数最大值和最小值定义中的两个关键词(1)∃(存在)M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.(2)∀(任意)最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．()(2)函数的最小值一定比最大值小．()(3)若函数f(x)≤1恒成立，则f(x)的最大值为1.()答案：(1)×(2)√(3)×1函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－1，0B．0，2C．－1，2D.，2答案：C函数f(x)＝在[1，＋∞)上()A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值解析：选A.结合函数f(x)＝在[1，＋∞)上的图象可知函数有最大值无最小值．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．解析：函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，ymin＝2×12＋2＝4.答案：4图象法求函数的最值已知函数f(x)＝(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间；(2)根据函数的图象求出函数的最小值．【解】(1)函数的图象如图所示．由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．(2)由函数图象可知，函数的最小值为f(0)＝－1.图象法求最值的一般步骤21．函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－2，f(2)B．2，f(2)C．－2，f(5)D．2，f(5)解析：选C.由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)．2．已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值和最小值．解：作出f(x)的图象如图．由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)取最小值为－.所以f(x)的最大值为2，最小值为－.利用函数的单调性求最值已知函数f(x)＝，x∈[3，5]．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．【解】(1)f(x)是增函数．证明如下：∀x1，x2∈[3，5]且x10，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)