第1课时函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系考点学习目标核心素养函数零点的概念理解函数零点的概念以及函数零点与方程的关系数学抽象二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系结合二次函数的图像，会判断一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法直观想象、数学运算问题导学预习教材P112－P114的内容，思考以下问题：1．函数零点的概念是什么？2．函数的零点与方程的根有什么关系？3．一元二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数与判别式Δ之间有什么关系？1．函数的零点一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．■名师点拨(1)函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值为零．(2)依据零点的定义可知，求函数y＝f(x)的零点，实质上就是解方程f(x)＝0.2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的两个零点，f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)；(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点；(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x轴没有公共点．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．()答案：(1)×(2)×下列各图像表示的函数中没有零点的是()答案：D函数f(x)＝x2－5x的零点是________．答案：0，5函数y＝x3－64x的零点个数是________．解析：y＝x3－64x＝x(x2－64)＝x(x－8)(x＋8)＝0，所以x＝0或x＝±8.答案：3求函数的零点判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2－4x－4；(2)f(x)＝.【解】(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2.(2)令＝0，解得x＝1，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1.(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)＝0的解，求解时注意函数的定义域．(2)已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)＝0.1．函数f(x)＝的零点为________．解析：当x＜0时，x＋2＝0，则x＝－2.当x＞0时，x2－1＝0，则x＝1，x＝－1(舍)．所以函数f(x)的零点为－2和1.答案：－2和12．若2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，则m＝________．解析：因为2是f(x)＝x2－m的一个零点，所以4－m＝0，m＝4.答案：4二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系角度一解一元二次不等式解下列不等式：(1)2x2＋5x－3＜0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1＞0；(4)－x2＋6x－10＞0.【解】(1)Δ＝49＞0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图像，如图①所示．由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0，Δ＝12＞0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，作出函数y＝3x2－6x＋2的图像，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.(3)因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图像如图③所示．由图可得原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，因为Δ＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，所以原不等式的解集为∅.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．角度二根据一元二次不等式的解集求参数(1)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为()A．14B．－10C．10D．－14(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．【解】(1)选D.由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a＜0.所以解得所以a＋b＝－14.(2)因为x2＋px＋q＜0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0两个实数根，由根与系数的...
