高中数学 第三章 函数 3.3 函数的应用（一） 3.4 数学建模活动 决定苹果的最佳出售时间点教师用书 新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点考点学习目标核心素养一次函数模型会建立一次函数模型解决实际问题数学建模二次函数模型会建立二次函数模型解决实际问题数学建模分段函数模型会利用分段函数解决与之相关的实际问题数学建模f(x)＝x＋(a＞0)模型建立目标函数f(x)＝x＋(a＞0)的形式，然后利用均值不等式求解数学建模一次函数模型为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示：(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.【解】(1)由图像可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.所以y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0).(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x＜96时，y1＞y2，使用“便民卡”便宜；当x＞96时，y1＜y2，使用“如意卡”便宜.利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法.(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数.某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km，之后以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求火车离开北京2h时火车行驶的路程.解：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝(h)，所以0≤t≤.因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120tkm，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝13＋120t.火车离开北京2h时火车匀速行驶的时间为2－＝(h)，此时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233(km).二次函数模型有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值.【解】设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S，则由图可得9x＋πx＋6y＝l，所以6y＝l－(9＋π)·x，所以S＝x2＋4xy＝x2＋x·[l－(9＋π)·x]＝－x2＋lx＝－·＋.要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最大.由6y＞0，得0＜x＜.因为0＜＜，所以当x＝，y＝＝，即＝时，窗户的面积S有最大值，且Smax＝.二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点.解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题.渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0).(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值.解：(1)根据题意知，空闲率是，故y关于x的函数关系式是y＝kx·，0≤x＜m.(2)由(1)知，y＝kx·＝－x2＋kx＝－2＋，0≤x＜m，则当x＝时，y取得最大值，ymax＝.所以鱼群年增长量的最大值为.分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)【解】(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)＝(2)依题意并结合(1)可得f(x)＝当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1200；当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋...