3.2简单的三角恒等变换【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。【教学重点、难点】教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。【教学过程】复习引入：复习倍角公式2S、2C、2T先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C。既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？半角公式的推导及理解：例1、试以cos表示222sin,cos,tan222．解析：我们可以通过二倍角2cos2cos12和2cos12sin2来做此题．（二倍角公式中以代2，2代）解：因为2cos12sin2，可以得到21cossin22；因为2cos2cos12，可以得到21coscos22．两式相除可以得到222sin1cos2tan21coscos2．点评：⑴以上结果还可以表示为：1cossin221coscos221costan21cos并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2角的象限决定。1⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。变式训练1：求证sintan21cos1costan2sin积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）：例2：求证：（１）1sincossinsin2；（２）sinsin2sincos22．解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。证明：（１）因为sin和sin是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．sinsincoscossin；sinsincoscossin．两式相加得2sincossinsin；即1sincossinsin2；（２）由（１）得sinsin2sincos①；设,，那么,22．把,的值代入①式中得sinsin2sincos22．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．变式训练2：课本p1422（2）、3（3）例３、求函数sin3cosyxx的周期，最大值和最小值．解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。2解：13sin3cos2sincos2sin223yxxxxx，所以，所求的周期22T，最大值为２，最小值为2．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数sinyAx的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．变式训练3：课本p1424、（1）（2）（3）探究：求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．小结：我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业布置：课本p143习题3.2A组1、（1）（5）3、53
