高中数学 第一章 三角函数 第2节 任意角的三角函数（第3课时）同角三角函数的基本关系教案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP免费

第3课时同角三角函数的基本关系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P18～P20的内容，回答下列问题．(1)观察教材P19图1.2－8，图中α的正弦线、余弦线各是什么？提示：正弦线是MP，余弦线为OM.(2)若P点坐标为(x，y)，则sinα，cosα各为何值？sinα与cosα有什么关系？提示：sin_α＝y，cos_α＝x，sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝1.(3)若α≠＋kπ，k∈Z，能否用sinα和cosα来表示tanα？如果能，试写出它们的关系式．提示：能．tanα＝.2．归纳总结，核心必记同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan_α.[问题思考](1)对任意α，都有sin2α＋cos2α＝1成立吗？提示：是．(2)对任意α，都有tanα＝成立吗？提示：只有当α≠＋kπ，k∈Z时，tanα＝才成立．(3)对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？提示：成立．(4)当2α≠＋kπ，k∈Z时，tan2α＝是否成立？提示：成立．[课前反思](1)同角三角函数的平方关系：；(2)同角三角函数的商数关系：；(3)同角三角函数的基本关系式成立的条件：.知识点1利用同角三角函数的基本关系求值讲一讲1．(1)已知cosα＝－，求sinα和tanα.(2)已知tanα＝3，求下列各式的值．①；②；③sin2a＋cos2α.[尝试解答](1)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，因为cosα＝－＜0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sinα＝，tanα＝＝－；当α是第三象限角时，sinα＝－，tanα＝＝.(2)①原式＝＝＝；②原式＝＝＝－；③原式＝＝＝＝.类题·通法已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sinα＝m，可以先应用公式cosα＝±求得cosα的值，再由公式tanα＝求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先应用公式sinα＝±求得sinα的值，再由公式tanα＝求得tanα的值．(3)已知tanα＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．(4)对于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值．练一练1．(1)已知sinα＝，并且α是第二象限角，求cosα和tanα.(2)已知tanα＝，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．(3)已知tanα＝2，求4sin2α－3sinαcosα－5cos2α的值．解：(1)cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又α是第二象限角，所以cosα＜0，cosα＝－，tanα＝＝－.(2)由tanα＝＝，得sinα＝cosα，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α是第三象限角，故cosα＝－，sinα＝cosα＝－.(3)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝＝＝＝1.知识点2sinθ±cosθ与sinθcosθ关系的应用讲一讲2．已知sinα＋cosα＝－，0＜α＜π.(1)求sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．[尝试解答](1)由sinα＋cosα＝－，得(sinα＋cosα)2＝，sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，sinαcosα＝－.(2)因为0＜α＜π，sinαcosα＜0，所以sinα＞0，cosα＜0⇒sinα－cosα＞0.sinα－cosα＝＝＝.类题·通法(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意判断它们的符号．练一练2．(1)若sinθ－cosθ＝，求tanθ＋的值．(2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，求cosα－sinα的值．解：(1)由已知得(sinθ－cosθ)2＝2，所以sinθcosθ＝－.所以tanθ＋＝＋＝＝－2.(2)(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝.因为＜α＜，所以cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0，所以cosα－sinα＝－.知识点3三角函数式的化简与证明讲一讲3．化简下列各式：(1)；(2).[尝试解答](1)原式＝＝＝＝－1.(2)法一：原式＝＝＝.法二：原式＝＝＝＝＝.法三：原式＝＝＝＝＝.类题·通法(1)利用同角三角函数关系化简的常用方法①化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；②对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去...