高中数学 第一章 三角函数 第2节 任意角的三角函数（第1课时）三角函数的定义教案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP免费

第1课时三角函数的定义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P11～P15的内容，回答下列问题．如图，设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离r＝>0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b.(1)根据初中学过的三角函数定义，你能表示出sinα，cosα，tanα的值吗？提示：sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.(2)根据相似三角形的知识，对于确定的角α，请问(1)的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？提示：不会随P点在终边上的位置的改变而改变．(3)若将点P取在使线段OP的长r＝1的特殊位置上，如图所示，则sinα，cosα，tanα各为何值？提示：sinα＝b，cosα＝a，tanα＝.(4)以上3个问题中的角α为锐角，若α是一个任意角，上述结论还成立吗？提示：上述结论仍然成立．(5)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα，cosα，tanα为何值？提示：sinα＝，cosα＝，tanα＝.2．归纳总结，核心必记(1)任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y余弦x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x正切叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(2)三角函数的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanα{α|α≠＋kπ，k∈Z}(3)三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(4)公式一①终边相同的角的同一三角函数的值相等．②公式：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.[问题思考](1)三角函数值的大小与点P在终边的位置是否有关？提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．(2)若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ之间有什么关系？提示：sin_α＝sin_β，cos_α＝cos_β，tan_α＝tan_β.(3)三角函数在各象限的符号与角的终边上点P的坐标有怎样的关系？提示：由三角函数的定义知sinα＝，cosα＝，tanα＝，三角函数在各象限的符号由角α终边上的任一点P的横坐标、纵坐标的正负确定．(4)对于角α，若sinα<0，cosα>0，则α为第几象限角？提示：第四象限角．[课前反思](1)任意角的三角函数的定义：；(2)三角函数的定义域：；(3)三角函数值的符号：；(4)公式一的内容：.知识点1三角函数的定义及应用[思考1]任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα，正切值tanα都有意义吗？名师指津：当α的终边在y轴上时，tan_α不存在．[思考2]若α的终边与单位圆交于点(x0，y0)，且x0≠0，则如何求sinα，cosα，tanα的值？名师指津：sinα＝y0，cosα＝x0，tanα＝.[思考3]若已知α终边上一点P(x0，y0)，且x0≠0，如何求sinα，cosα，tanα的值？名师指津：先求r＝，然后求sinα＝，cosα＝，tanα＝.[思考4]若已知α终边所在的直线方程为y＝kx，则如何求sinα，cosα，tanα的值？名师指津：可在直线y＝kx上任取一点(x0，y0)，x0≠0，然后利用sinα＝，cosα＝，tanα＝求解．讲一讲1．(1)已知角α的终边与单位圆交于点P，则角α的正弦值、余弦值和正切值分别为()A.，，B．－，，－C．－，－，D.，－，－(2)若角α的终边在直线y＝2x上，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.[尝试解答](1) r＝＝1，∴sinα＝－，cosα＝，tanα＝＝－.(2)当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取一点P(1,2)．由r＝|OP|＝＝，得sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2.当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取一点Q(－1，－2)．由r＝|OQ|＝＝，得sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝2.答案：(1)B(2)±±2类题·通法求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标...