第1课时周期性与奇偶性学习目标核心素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)3．掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)1.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养.1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数1．函数y＝2sin是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数B[y＝2sin＝2cos2x，它是周期为π的偶函数．]2．函数f(x)＝sin2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数A[f(x)＝sin2x的定义域为R，f(－x)＝sin2(－x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．]3．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．4[由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4.]4．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________.6[由已知得f(x＋2)＝f(x)，所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]三角函数的周期问题及简单应用1【例1】求下列函数的周期：(1)y＝sin；(2)y＝|sinx|.[思路点拨](1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．(2)作函数图象，观察出周期．[解](1)法一：(定义法)y＝sin＝sin＝sin，所以周期为π.法二：(公式法)y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.(2)作图如下：观察图象可知周期为π.求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．(1)y＝cos2x，x∈R；(2)y＝sin，x∈R.[解](1)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.(2)因为sin＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.三角函数奇偶性的判断【例2】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝.[思路点拨]2[解](1)显然x∈R，f(x)＝cosx， f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)由得－1＜sinx＜1，解得定义域为，∴f(x)的定义域关于原点对称．又 f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3) 1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z. 定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝cos＋x2sinx；(2)f(x)＝＋.[解](1)f(x)＝sin2x＋x2sinx，又 x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)由得cosx＝，∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[探究问题]1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？提示：奇函数有y＝2sinx，y＝sin2x，y＝5sin2x，y＝sinxcosx等．偶函数有y＝cos32x＋1，y＝3cos5x，y＝sinx·sin2x等．2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2018)的值是多少？提示：f(2018)＝f(0＋1009×2)＝f(0)＝0.【例3】(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sin2x|C．y＝sinD．y＝cos(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期...
