高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.4.1 函数与方程（第1课时）函数的零点讲义 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学教案VIP专享VIP免费

第1课时函数的零点学习目标核心素养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点)2．会求函数的零点．(重点、难点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理的数学核心素养.1．函数零点的定义一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．3．零点存在性定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．()(2)任意两个零点之间函数值保持同号．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.2．函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________．－1或－2(－1,0)，(－2,0)[令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2.]3．若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．1[由f(x)在区间(2,5)上是减函数，可得f(x)至多有一个零点．又因为f(x)是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，所以f(x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f(x)恰有一个零点．]求函数的零点【例1】求下列函数的零点．(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)1(a∈R)．思路点拨：根据函数零点的方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．[解](1) f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零点为x＝－1，0,1.(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，故f(x)的零点为x＝3.(3)令f(x)＝1－log4x＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.故f(x)的零点为x＝4.(4)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，得x＝2.∴f(x)的零点为2.当a＝时，f(x)＝(x－2)＝(x－2)2，令f(x)＝0得x1＝x2＝2.∴f(x)有零点2.当a≠0且a≠时，令f(x)＝0得x1＝，x2＝2.∴f(x)的零点为，2.综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝时，函数有零点2；当a≠0且a≠时，f(x)的零点为，2.函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．1．若函数f(x)＝x2－ax＋b有两个零点1和4，则函数g(x)＝bx2－ax＋1的零点为________．或1[由根与系数的关系得∴g(x)＝4x2－5x＋1＝(4x－1)(x－1)，令g(x)＝0，则x＝或1，即g(x)的零点为或1.]零点存在性定理及其应用【例2】在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．(填序号)①；②；③；④.思路点拨：利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f(a)f(b)<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x轴是否有交点．③[ f＝－2<0，f＝－1>0，∴零点在上．]1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象．2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)的图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)>0，则f(x)在2(a，b)上不一定没有零点．2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋323456①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．③[设f(x)＝ex－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝0.37－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2.72－4<0，f(2)＝7.40－5>0，f(3)＝20.12－6>0，∴f(1)·f(2)<0，因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1,2...