高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.3 幂函数讲义 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学教案VIP专享VIP免费

3.3幂函数学习目标核心素养1.了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象．(重点)2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点)3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.1．幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象和性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数的图象不经过第四象限．()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．()(3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)由幂函数的一般式y＝xα(α为常数)及图象可知，当x>0时，y>0，即图象不经过第四象限．(2)y＝x－1不经过(0,0)点，故错误．(3)y＝x，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误．2．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.3[由题意得所以m＋n＝3.]3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.－8[8＝2α，所以α＝3，所以f(x)＝x3，f(－2)＝(－2)3＝－8.]1幂函数的概念【例1】已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．思路点拨：由幂函数的定义列式求解．[解]由题意得解得∴m＝－3，n＝为所求．1．幂函数y＝xα要满足三个特征(1)幂xα前系数为1；(2)底数只能是自变量x，指数是常数；(3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.1．下列函数是幂函数的有________．(填序号)①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝x；④y＝x2＋1；⑤y＝－；⑥y＝x.③⑥[根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．]2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过，则f(100)＝________.[由题知2α＝＝2，∴α＝－.∴f(x)＝x，∴f(100)＝100＝＝.]比较大小【例2】比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)与；(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.思路点拨：可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较．[解](1) y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且>，∴>.(2) y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，且－<－，∴>.(3)0.25＝＝2，6.25＝2.5. y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5，∴2<2.5，即0.25<6.25.(4)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而20.20.6<0.30.4.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数；(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．3．比较下列各组中两个数的大小：(1)3，3.1；(2)a1.5，(a＋1)1.5(a＞0)；(3)(－0.88)，(－0.89).[解](1)因为函数y＝x在(0，＋∞)内是减函数，所以3＞3.1.(2)函数y＝x1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a＞0，a＋1＞a，所以(a＋1)1.5＞a1.5.(3)函数y＝x在R上为增函数，所以(－0.88)＞(－0.89).幂函数的图象与性质[探究问题]1．做幂函数y＝x的图象应该怎么做？[提示]①因为0<<1，故函数y＝x在第一象限内是单调递增的，并且在(0,1)上应在y＝x的上方，在(1，＋∞)上应在y＝x的下方．②函数的定义域为R，且为偶函数，故将y轴右侧的图象关于y轴对称到y轴左侧，即得到y＝x的图象(略)．2．从上述过程能否归纳出作幂函数y＝xα的图象的步骤？[提示]①先看α，按α<0,0<α<1，α>1来分类(α＝0，α＝1两种特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状．②再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象．3．作出y＝x的图象(草图)，并说明若x>y时，x，y与0的大小关系有多少种？[提示]y＝x在第一象限...