高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.2 奇偶性（第2课时）奇偶性的应用讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

第2课时奇偶性的应用学习目标核心素养1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式．2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养.用奇偶性求解析式【例1】(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．[思路点拨](1)――→――→――→――→(2)――→――→――→[解](1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又 函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时，f(x)＝－x－1.又x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)＝(2) f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．由f(x)＋g(x)＝，①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，②(①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝.把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．[解] f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，1即f(x)－g(x)＝.②联立①②得f(x)＝，g(x)＝.利用函数奇偶性求解析式的方法1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.2要利用已知区间的解析式进行代入.3利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx.提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0＝0.函数单调性和奇偶性的综合问题[探究问题]1．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.角度一比较大小问题【例2】函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f(1)