高中数学 第2章 数列 2.2.3 等差数列的前n项和（第2课时）等差数列前n项和的综合应用讲义 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案VIP专享VIP免费

第2课时等差数列前n项和的综合应用学习目标核心素养1.掌握an与Sn的关系并会应用．(难点)2.掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点)3.会求等差数列前n项和的最值．(重点)4.会用裂项相消法求和．(易错点)1.通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习，体现了数学建模素养.2.借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和，培养数学运算素养.1．Sn与an的关系an＝2．等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．思考1：如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？[提示](a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．3．等差数列前n项和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．思考2：我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？[提示]由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A．9B．10C．11D．12B[ ＝，∴＝.∴n＝10.故选B项．]2．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________.15[由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，解得S6＝15.]3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________．23或24[由an≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有负项的和最小，即n＝23或24.]4.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．2A[a1＝S1＝A＋B，a2＝S2－S1＝(4A＋2B)－(A＋B)＝3A＋B，∴d＝a2－a1＝2A.]等差数列前n项和的性质【例1】(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．[解](1)在等差数列中， Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)＝＝＝＝＝.等差数列前n项和计算的几种思维方法1整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解.2待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋BnA≠0，列出方程组求出A，B即可，或利是关于n的一次函数，设＝an＋ba≠0进行计算.1．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________.(2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．(1)104(2)75[(1)由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，所以S13＝×13＝a7·13＝104.(2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3.所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋×1＝75.]等差数列前n项和Sn的函数特征[探究问题]1．将首项为a1＝2，公差d＝3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？[提示]首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为Sn＝2n＋＝n2＋n，显然Sn是关于n的二次型函数．且常数项为0，二次项系数为，一次项系数为a1－；如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么当n＝1时，S1＝a1＝4.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2，则该数列的通项公式为an＝6n－2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n项和都是关于n的二次型函数，且常数项为0...