高中数学 第2章 推理与证明 2.3 数学归纳法（第一课时）利用数学归纳法证明等式、不等式问题讲义（含解析）苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教案VIP免费

2.3数学归纳法第一课时利用数学归纳法证明等式、不等式问题[对应学生用书P48]在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题．数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．数学归纳法的两个步骤之间的联系：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得不出正确的结论，因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．用数学归纳法证明恒等式[例1]用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.[思路点拨]等式的左边有2n项，右边共有n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左右两边的首项不同．因此，从n＝k到n＝k＋1时要注意项的合并．[精解详析](1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，那么当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋.右边＝＋＋…＋＋＋，左边＝右边，上式表明当n＝k＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切非零自然数均成立．[一点通](1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(2)证明n＝k＋1时成立，必须用到假设n＝k成立的结论．1．用数列归纳法证明：当n∈N*时，－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)n·n.证明：(1)当n＝1时，左边＝－1，右边＝－1，所以左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N*)时等式成立，即－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＝(－1)k·k.那么当n＝k＋1时，－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1·(2k＋1)＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(－k)＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(2k＋1－k)＝(－1)k＋1(k＋1)这就是说n＝k＋1时等式也成立，由(1)(2)可知，对任何n∈N*等式都成立．2．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，所以左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立．则当n＝k＋1时，左边＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2＝(k＋1)[2k＋1－4(k＋1)]＝(k＋1)(－2k－3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]＝右边，所以当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立．用数学归纳法证明不等式[例2]求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．[思路点拨]运用数学归纳法证明，证明时仔细观察不等式的结构特征，在第二步证明当n＝k＋1时，如何进行不等式的变换是关键．另外，要注意本题n的初始值为2.[精解详析](1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝>，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋－>＋>＋＝，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立．[一点通]利用数学归纳法证明与n有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意：(1)证明不等式的第二步即从n＝k到n＝k＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适...