2.3数学归纳法第一课时利用数学归纳法证明等式、不等式问题[对应学生用书P48]在学校,我们经常会看到这样的一种现象:排成一排的自行车,如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了,那么整排自行车就会倒下.问题1:试想要使整排自行车倒下,需要具备哪几个条件?提示:(1)第一辆自行车倒下;(2)任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆倒下.问题2:利用这种思想方法能解决哪类数学问题?提示:一些与正整数n有关的问题.数学归纳法一般地,对于某些与正整数有关的数学命题,我们有数学归纳法公理:如果(1)当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.数学归纳法的两个步骤之间的联系:第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断,可能得不出正确的结论,因为单靠步骤(1),无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判断.同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了.用数学归纳法证明恒等式[例1]用数学归纳法证明:1-+-+…+-=++…+.[思路点拨]等式的左边有2n项,右边共有n项,f(k)与f(k+1)相比左边增二项,右边增一项,而且左右两边的首项不同.因此,从n=k到n=k+1时要注意项的合并.[精解详析](1)当n=1时,左边=1-=,右边=,命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即1-+-+…+-=++…+,那么当n=k+1时,左边=1-+-+…+-+-=++…++-=++…+++.右边=++…+++,左边=右边,上式表明当n=k+1时命题也成立.由(1)和(2)知,命题对一切非零自然数均成立.[一点通](1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题,关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关.由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.(2)证明n=k+1时成立,必须用到假设n=k成立的结论.1.用数列归纳法证明:当n∈N*时,-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)n·n.证明:(1)当n=1时,左边=-1,右边=-1,所以左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k>1,k∈N*)时等式成立,即-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)=(-1)k·k.那么当n=k+1时,-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)+(-1)k+1·(2k+1)=(-1)k·k+(-1)k+1(2k+1)=(-1)k+1(-k)+(-1)k+1(2k+1)=(-1)k+1(2k+1-k)=(-1)k+1(k+1)这就是说n=k+1时等式也成立,由(1)(2)可知,对任何n∈N*等式都成立.2.用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).证明:(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1×(2×1+1)=-3,所以左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.则当n=k+1时,左边=12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+[2(k+1)-1]2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=(2k+1)(k+1)-4(k+1)2=(k+1)[2k+1-4(k+1)]=(k+1)(-2k-3)=-(k+1)[2(k+1)+1]=右边,所以当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)可知对于任意正整数n,等式都成立.用数学归纳法证明不等式[例2]求证:++…+>(n≥2,n∈N*).[思路点拨]运用数学归纳法证明,证明时仔细观察不等式的结构特征,在第二步证明当n=k+1时,如何进行不等式的变换是关键.另外,要注意本题n的初始值为2.[精解详析](1)当n=2时,左边=+++=>,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时不等式成立,即++…+>,则当n=k+1时,++…++++=++…++->+>+=,所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)(2)可知原不等式对一切n≥2,n∈N*都成立.[一点通]利用数学归纳法证明与n有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一,应用过程中注意:(1)证明不等式的第二步即从n=k到n=k+1的推导过程中要应用归纳假设,有时需要对目标式进行适...