2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例学习目标核心素养1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)2.体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点)3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点)1.通过用向量方法解决几何问题，提升学生的数学运算和直观想象素养.2.通过用向量方法解决物理问题，提升学生的数学抽象、数学建模素养.1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．(3)动量mv是向量的数乘运算．(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．1．已知平面内四边形ABCD和点O，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形D[由条件知OA＋OC＝OB＋OD，则OA－OB＝OD－OC，即BA＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形．]2．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定A[由条件知∠BAC为钝角，所以△ABC为钝角三角形．]3．已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J.300[W＝F·s＝6×100×cos60°＝300(J)．]4．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)的合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为________．(－5,1)[由F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)， F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，∴F1＋F2＝(5，－1)，即F3＝(－5,1)．]向量在平面几何中的应用[探究问题]1．用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD?提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB和CD；③证明AB·CD的值为0；④给出几何结论AB⊥CD.法二：先求AB，CD的坐标，AB＝(x1，y1)，CD＝(x2，y2)，再计算AB·CD的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.2．用向量法如何证明平面几何中AB∥CD?提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB和CD；③寻找实数λ，使AB＝λCD，即AB∥CD；④给出几何结论AB∥CD.法二：先求AB，CD的坐标，AB＝(x1，y1)，CD＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到AB∥CD，再给出几何结论AB∥CD.以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有AB∥CD得到AB∥CD.【例1】(1)已知非零向量AB与AC满足·BC＝0且·＝，则△ABC的形状是()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形(2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．思路点拨：(1)先由平行四边形法则分析＋的几何意义，由数量积为0推出垂直关系，再由·＝求∠BAC，最后判断△ABC的形状．(2)先建系设点P坐标，再根据A，P，F和C，P，E分别共线求点P坐标，最后求四边形APCD的面积．(1)C[由·BC＝0，得∠A的平分线垂直于BC，所以AB＝AC，设AB，CA的夹角为θ，而·＝cosθ＝，又θ∈[0，π]，所以∠BAC＝π－＝π，故△ABC为等腰三角形．](2)[解]以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，如图所示，∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，F(6,4)，E(3,0)，设P(x，y)，AP＝(x，y)，AF＝(6,4)，EP＝(x－3，y)，EC＝(3,6)．由点A，P，F和点C，P，E分别共线，得∴∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB＝36－×3×3－×3×6＝.1．将本例(1)的条件改为(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，试判断△ABC的形状．[解] (OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，∴(OB－OC)·(OB－OA＋OC－OA)＝0，∴CB·(AB＋AC)＝0，∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，∴AB2－AC2＝0，即|AB|2－|AC|2＝0，所以|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形．2．将本例(2)的条件“BF∶FC＝2∶1”改为“BF∶FC＝1∶1”，求证：AF⊥DE.[证明]建立如图所示的平面直角坐标系...
