2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用学习目标核心素养1．会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题．(重点)2．会用向量法解决某些简单的物理学中的问题．(难点)1．通过向量在几何中应用的学习，培养学生数学运算及数学建模核心素养．2．通过向量在物理中的应用，培养学生数学建模的核心素养.1．向量在几何中的应用(1)直线与向量平行的条件①直线的斜率与向量的关系：设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，可得k＝＝＝tanα.②平行条件：如果知道直线l的斜率k＝，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．③法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．(2)特殊向量设直线l的一般方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与l平行．思考1：向量可以解决哪些常见的几何问题？[提示](1)解决直线平行、垂直、三点共线等位置关系问题．(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．2．向量在物理中的应用(1)力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．(2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．思考2：向量可以解决哪些物理问题？[提示]解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题．1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为()A．－1B．1C．2D．－1或2D[由于＝－，得m＝－1或m＝2.]2．下列直线与a＝(2,1)垂直的是()A．2x＋y＋1＝0B．x＋2y＋1＝0C．x－2y＋4＝0D．2x－y＋4＝0A[直线2x＋y＋1＝0与向量(2,1)垂直．]3．已知力F＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则F对物体所做的功为________焦耳．1[由已知位移AB＝(－4,3)，∴力F做的功为W＝F·AB＝2×(－4)＋3×3＝1.]向量在平面几何中的应用【例1】如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点．求证：AR＝RT＝TC.[思路探究]由于R，T是对角线AC上的两点，要证AR＝RT＝TC，只要证AR,RT，TC都等于AC即可．[证明]设AB＝a，AD＝b，AR＝r，AT＝t，则AC＝a＋b.由于AR与AC共线，所以可设r＝n(a＋b)．因为EB＝AB－AE＝a－b，ER与EB共线，所以可设ER＝mEB＝m.因为AR＝AE＋ER，所以r＝b＋m，所以n(a＋b)＝b＋m，即(n－m)a＋b＝0.由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有解得所以AR＝AC.同理TC＝AC.所以AR＝RT＝TC.1．利用向量的关系证明问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．2．平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系．1.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.[证明]设AB＝a，AC＝b，AD＝e，DB＝c，DC＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0. BC＝BD＋DC＝d－c，∴AD·BC＝e·(d－c)＝0，∴AD⊥BC，即AD⊥BC.向量在解析几何中的应用【例2】过点A(－2,1)，求：(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程．[思路探究]在直线上任取一点P(x，y)，则AP＝(x＋2，y－1)，由AP∥a可以得(1)，由AP⊥b可以得(2)．[解]设所求直线上任意一点P(x，y)， A(－2,1)，∴AP＝(x＋2，y－1)．(1)由题意知AP∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，即x－3y＋5＝0，∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.(2)由题意，知AP⊥b，∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，即x－2y＋4＝0，∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将...
