《三垂线定理及其逆定理》教案知识目标:1、掌握三垂线定理及其逆定理;2、用三垂线定理及其逆定理培养学生的空间想象能力,逻辑思维能力和转化能力。3、正确运用这两个定理分析和解决实际问题。教学重点、难点:重点:1、三垂线的分析和证明;2、三垂线定理及其逆定理的应用。难点:正确运用这两个定理并建立空间三线垂直的模型。教学过程:一、回顾与思考:1、回顾直线与平面垂直的相关性质;2、阅读课本,找出射影、斜线段等概念;3、平面的垂线垂直于平面内的每一条直线;平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线,但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢?(用演示大木三角板在桌面上随意摆放一下,引起学生思考)(还可以引入日常生活中用铡刀铡草的例子,用铡刀铡草怎样才能保证草料与铡刀的刀刃垂直呢?当且仅当草料与刀座垂直就行。)二、新课讲授:1、由以上的分析,我们可以抽象出如下的一个图。PO⊥α,PA与α斜交于点A,AO⊥a,问PA与a所成的角;显然PO⊥αPOOAa平面POAPAPOOA=OPA平面POA即:PA与a所成的角为900由此可以得到:三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。(说明:三垂线定理来源于“线面垂直”,抓住平面α的垂线PO,才是抓住了定理的实质与关键)2、让学生说出三垂线定理的逆命题,并说明其真假,如果是真命题,能否证明这个命题。PO⊥αPOPAa平面POAOAPOPA=POA平面POA由此可以得到:三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。说明:⑴、三垂线定理及其逆定理所描述的“三线”为:斜线(PA)、射影线(OA)和直线a之间的垂直关系。PaαOA⑵、如果把PA、OA、a之间的垂直关系作整体思考,三垂线定理及其逆定理的“一致性”描述就是斜线及射影同垂直于射影面内的直线。⑶、三垂线定理及其逆定理的应用,关键在于找出平面的垂线,至于射影是由垂足和斜足来确定的,那就处于次要位置。三垂线定理及其逆定理的应用程序为“一垂、二射、三证”,一垂:即找已知平面的垂线;二射:即找斜线在平面内的射影;三证:即证明射影与直线a垂直。3、例题选讲:例1、如图所示:在正方体ABCD-A1B1C1D1中⑴、BD1与AC成角⑵、BD1与A1D成角⑶、BD1与A1C1成角⑷、BD1与B1C成角⑸、BD1与DC1成角例2、如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知:∠BAC在平面内,点P,PE于点E,PF于点F,PO于点O,PE=PF;求证:∠BAO=∠CAO证:PE=PFOE=OFPOPOOEAB∠BAO=∠CAOPEABPFACOFAC(说明:⑴、平面POA称为∠BAC的平分面,这个面上的每一个点到∠BAC的两边相等;⑵、本例可以作为一个结论,在解选择题与填空题时用。)变式训练(例题预案)从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条射线的夹角为600,求直线PC和平面APB所成的角的余弦值。()4、课堂练习:课本P271、2、3(教师巡视课堂,让学生回答问题,发现问题及时纠正。)5、课堂小结:⑴、本节课是在学习了直线和平面垂直的基础上引入的,它的实质还是直线与平面的垂直;⑵、三垂线定理及其逆定理是描述斜线(PA)、射影线(OA)和直线a这“三线”之间的垂直关系,同学们下去以后还要结合课本去落实巩固。⑶、三垂线定理及其逆定理应用的六字诀“一垂、二射、三证”同学们要牢记在心。6、布置作业:课本P284、6ABCDA1B1C1D1ACABOPFEABCPEFQD