7．3球学习目标核心素养1.了解球的体积和表面积公式．(重点)2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.(难点)1.通过学习球的体积、表面积公式培养直观想象素养.2.通过求球的体积和表面积提升数学运算素养.1．球的体积球的半径为R，那么它的体积V球＝πR3.2．球的表面积球的半径为R，那么它的表面积S球＝4πR2.思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形．1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为()A．8∶27B．2∶3C．4∶9D．2∶9C[∶＝8∶27，∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝4∶9.]2．如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是()A．3∶2B．2∶3C．1∶2D．1∶1D[设球的半径为R，则球的表面积S表＝4πR2，圆柱的侧面积S侧＝2πR×2R＝4πR2，所以S表∶S侧＝1∶1.]3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.B.πC.πD.A[由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为1，所以V球＝π×13＝.]4．用一个平面截半径为25cm的球，截面圆的面积是225πcm2，则球心到截面的距离为________cm.20[由题意知，球的半径R＝25(cm)，易知截面圆的半径r＝15(cm)，则球心到截面的距离d＝＝20(cm)．]球的体积与表面积【例1】(1)球的体积是，则此球的表面积是()A．12πB．16πC.D.(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________．(1)B(2)[(1)πR3＝π，故R＝2，球的表面积为4πR2＝16π.(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，则由题意得∴π(2R)2·h＝πR3，∴R＝h，r＝2h，∴l＝＝h，∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2，S球＝4πR2＝4πh2，∴＝＝.]求球的体积与表面积的方法1要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.2半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.[跟进训练]1．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；(2)已知球的体积为，求它的表面积．[解](1)因为直径为2，所以半径R＝1，所以表面积S球＝4πR2＝4π×12＝4π，体积V球＝πR3＝π×13＝π.(2)因为V球＝πR3＝π，所以R3＝27，R＝3，所以S球＝4π×32＝36π.球的表面积及体积的应用【例2】一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？[思路探究]设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决．[解]设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝x，如图所示． AC＝r，PC＝3r，∴以AB为底面直径的圆锥的容积为V圆锥＝πAC2·PC＝π(r)2·3r＝3πr3，V球＝πr3.球取出后水面下降到EF，水的体积为V水＝πEH2·PH＝π(PH·tan30°)2·PH＝πx3.而V水＝V圆锥－V球，即πx3＝3πr3－πr3，∴x＝r.故球取出后水面的高为r.1．画出截面图是解答本题的关键．2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．[跟进训练]2．圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？[解]设取出小球后，容器中水面下降hcm，两个小球的体积为V球＝2×π×3＝，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V＝π×52×h，所以＝π×52×h，所以h＝(cm)，即若取出这两个小球，则容器的水面将下降cm.与球有关的切、接问题[探究问题]1．一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？提示：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的比为1∶3.2．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？提示：设长方体的体对角线长为l，球半径为R，则所以R＝，所以S球＝4πR2＝50π.【例3】已知直三棱柱ABCA1...
