高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ）1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算教案（含解析）新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学教案VIP专享VIP免费

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算学习目标核心素养1．了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．(重点)2．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)1．通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养.1．角度制与弧度制的定义(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．2．角的弧度数的计算在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为αrad，则α＝.3．角度与弧度的互化4．一些特殊角与弧度数的对应关系角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度π2π思考1：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？[提示]这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．5．扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝l＝αr扇形的面积S＝S＝lr＝αr2思考2：在弧度制下的扇形面积公式S＝lr可类比哪种图形的面积公式加以记忆？[提示]此公式可类比三角形的面积公式来记忆．1．1080°等于()A．1080B．C．D．6πD[1080°＝180°×6，所以1080°化为弧度是6π.]2．与角π终边相同的角是()A．πB．2kπ－π(k∈Z)C．2kπ－π(k∈Z)D．(2k＋1)π＋π(k∈Z)C[选项A中＝2π＋π，与角π终边相同，故A项错；2kπ－π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π)之间的角为π，故与π有相同的终边，B项错；2kπ－π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为π，与π有相同的终边，故C项对；(2k＋1)π＋π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为π，故D项错．]3．圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________．6π[扇形的面积为×62×＝6π.]弧度制的概念【例1】下列命题中，假命题是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的，1rad的角是周角的C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究]由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．D[根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题．]弧度制与角度制的区别与联系区别①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；②定义不同联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值1．下列各说法中，错误的说法是()A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度[答案]D角度制与弧度制的转换【例2】设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝π，β2＝－π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．[思路探究]由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角π，－π；(2)终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k·360°(k∈Z)的形式．[解](1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．α1＝－570°＝－π＝－4π＋π，α2＝750°＝π＝4π＋.∴α1在第二象限，α2在第一象限．(2)β1＝＝108°，设θ＝β1＋k·360°(k∈Z)，由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，∴k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是...