平面向量的数量积一、内容归纳：1、知识精讲：（1）平面向量的数量积的定义①向量，的夹角：已知两个非零向量，过O点作，则∠AOB=θ（00≤θ≤1800）叫做向量，的夹角。当且仅当两个非零向量同方向时，θ=00，当且仅当反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。②垂直；如果的夹角为900则称垂直，记作。③的数量积：两个非零向量，它们的夹角为θ，则叫做称的数量积（或内积），记作，即=规定=0非零向量当且仅当时，θ=900，这时=0。④在方向上的投影：（注意是射影）所以，的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。（2）平面向量数量积的性质设是两个非零向量，是单位向量，于是有：①②③当同向时，；当反向时，，特别地，。④⑤(3)平面向量数量积的运算律①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0④但是乘法公式成立：；；等等。⑤；1ababoPPo（3）平面向量数量积的坐标表示①若=(x1,y1),=(x2,y2)则=x1x2+y1y2②若=(x,y),则||=.=x2+y2,③若A(x1,y1),B(x2,y2),则④若=(x1,y1),=(x2,y2)则（呢）⑤若=(x1,y1),=(x2,y2)则2、重点、难点：平面向量的数量积及其几何意义，向量垂直的充要条件。利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。3、思维方法：化归思想，数形结合。4、特别提示：数量积不满足结合律。二、问题讨论例1：判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有。解答过程请参考课本。例2：已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。解：由题意，，且与的夹角为，所以，，，，同理可得而，设为与的夹角，则点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。例3．已知，，，按下列条件求实数的值。（1）；（2）解：（1）；2（2）；（3）。点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。例4：平面内有向量点X为直线OP上的一个动点。（1）当取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求的值。解答过程请参考课本。例5：已知向量满足，求证：是正三角形。解答过程请参考课本。三、课堂小结：向量数量积的意义，运算，性质必须十分的了解。3
