Newton插值多项式VIP免费

本节内容提要基本思想Newton插值多项式的构造差商定义、计算、性质Newton插值多项式的误差§4.2Newton§4.2Newton插值多项式插值多项式§4.2Newton§4.2Newton插值多项式插值多项式；，：插值多项式以构造项式的存在唯一性，可由插值多，，，，个互异插值节点已知nkiiikiknkkknnxxxxxlyxlxLexxxn0010)()()(Lagrang1基本思想缺点：增加节点时，需要计算，而已得的)(1xLn)(xLn不能被利用；为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写；——由唯一性，仅是形式上的变化期望：作一个简单的修正；的计算只需对)()(1xLxLnn；，从而可由由新增节点可以计算出待定；，，的零点是即；，，，，，且有的多项式，是次数，则令)()()())(()()()())(()()(2100)()()(1)()()()(111101110111xLxLaaxxxxxxaxLxLxxxxxxaxhxhxnjxLxLxhnxhxLxLxhnnnnnnnnnnjjnjnjnn；)())(())(()()())(()())(()()())(()()(110102010110210121101nnnnnnnnnnnxxxxxxaxxxxaxxaaxxxxxxaxxxxxxaxLxxxxxxaxLxL一般递推得：；，；比较点斜式直线方程：；时，有：特别，当01011000010100101)()()()()()()()()(1xxxfxfaxfaxxxxxfxfxfyxxaaxLn上述修改过的可看成是由点斜式直线方程往)(xLnn+1个插值点情形的推广，而Lagrange插值多项式是由两点式直线方程推导而来的。注：一、系数的确定ka；，取；，取；，取来确定待定系数；，，，，，由插值条件；设1201010202120202102221202202102201011101101100000110010))(()()())(()()()()()()(210)()())(()()(xxxxyyxxyyxxxxxxayyayxxxxaxxaaxLxxxxyyayxxaaxLxxyxfaxLxxnjyxLxxxxxxaxxaaxLnnnjjnnnn10101010101010111011101)()()()()()()()()()()()())(()()()())(()()(niinknknkiiikinniinnniinknknknniinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxfxxxxxxxfxxxfxlxfxxxLxLaxxxxxxaxLxLxxxxxxxxaxLxL，取一般，由：Lagrange插值插值条件基函数；nnkknknknkiiikknknkiiikkniinnnknkiiikknkniinnaxxfxxxfxxxfxxxfxxxxxfxxxf010010010101010)()()()()()()()()()()()()(——依此公式麻烦！二、差商1、定义：上的变化率；，在区间；表示，记作的一阶差商；，关于节点为称][)(][)()()(jijijiijijxxxfxxfxxxfxxxfxf；，，，，记作：的二阶差商，，，关于节点的均差为，，，称一阶均差ikjikjkjikjikjjixxxxfxxfxxxfxxxxfxxfxxf][][][)(][][②①③；，，，，，，，，，阶差商，有阶差商的均差为一般，称01102110][][][1xxxxxfxxxfxxxfnnnnnn注：为统一记号，规定：；)(][iixfxf——称为零阶差商类比：导数：差商：；000)()(lim)(0xxxfxfxfxx；，ijijjixxxfxfxxf)()(][2、差商的计算],,,[],,[],[][3],,[],[][2],[][1][0321032132332102122101100xxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfxfxxxfxfxxfxxkk三阶差商二阶差商一阶差商零阶差商——列差商表列出差商表；，已知：11014)(76421kkxfx1801121610174607412116365210423121410][四阶三阶二阶一阶kkxfxk解一：例：1801912121174607535316365340423121410][四阶三阶二阶一阶kkxfxk解二：可见，求各阶差商是方便的，且，，，][][100xxfxf，，，][210xxxf位于差商表的对角线上。3、性质；的线性组合阶差商可表为即；，，，)()()()()(][1010010knkknknknkiiikknxfnxxfxxxfxxxf证明：（归纳法）；，时)(][000xfxfn①；，，，；，，，时成立，即设11111210010)()(][)()(][mkmkiiikkmmkmkiiikkmxxxfxxxfxxxfxxxfmn...