用最小二乘法进行多项式拟合（matlab 实现）西安交通大学 徐彬华算法分析：对给定数据 （i=0 ，1，2，3,。。，m）,一共 m+1 个数据点,取多项式 P（x），使函数 P(x）称为拟合函数或最小二乘解,令似的 使得 其中，a0，a1,a2,…，an 为待求未知数，n 为多项式的最高次幂，由此，该问题化为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件: j=0,1，…,n得到： j=0，1,…,n这是一个关于 a0，a1,a2，…，an 的线性方程组，用矩阵表示如下:因此，只要给出数据点 及其个数 m，再给出所要拟合的参数 n，则即可求出未知数矩阵（a0,a1，a2，…,an）试验题 1编制以函数 为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对下列数据作三次多项式最小二乘拟合(取权函数 wi≡1)xi—1。0 -0.50。00。51.01.52.0yi-4.447 —0.452 0。551 0.048 -0。447 0。549 4.552总共有 7 个数据点，令 m=6第一步：画出已知数据的的散点图,确定拟合参数 n；x=—1.0：0.5:2.0;y=［—4。447,-0。452，0。551，0。048，—0.447,0。549，4.552］；plot(x,y,’＊’)xlabel ’x 轴’ylabel 'y 轴’title ’散点图’hold on因此将拟合参数 n 设为 3。第二步：计算矩阵A= 注意到该矩阵为(n+1）*(n+1)矩阵,多项式的幂跟行、列坐标（i，j）的关系为 i+j-2，由此可建立循环来求矩阵的各个元素,程序如下：m=6;n=3;A=zeros（n+1）;for j=1:n+1 for i=1：n+1 for k=1:m+1 A（j，i）=A(j，i)+x(k)^(j+i—2) end endend;再来求矩阵B=B=[0 0 0 0];for j=1：n+1 for i=1：m+1 B(j)=B（j）+y（i）＊x（i）^（j—1） endend第三步:写出正规方程，求出 a0,，a1…，an.B=B'；a=inv（A）＊B;第四步：画出拟合曲线x=［-1.0:0.0001:2。0］；z=a（1）+a(2)*x+a（3)*x.^2+a（4）＊x.^3;plot(x,z） legend(’离散点’,’y=a(1)+a(2)*x+a（3)*x。^2+a(4)*x。^3')title('拟合图')总程序附下：x=-1。0：0.5:2.0;y=［-4。447，-0.452,0.551，0。048,—0.447,0。549,4。552];plot(x,y,’*’）xlabel 'x 轴'ylabel ’y 轴'title '散点图'hold onm=6;n=3;A=zeros(n+1);for j=1:n+1 for i=1:n+1 for k=1:m+1 A(j,i）=A(j，i）+x(k）^（j+i-2） end endend；B=［0 0 0 0］;for j=1：n+1 for i=1：m+1 B(j)=B（j)+y(i）＊x(i)^（j—1） endendB=B’；a=inv(A）＊B;x=［—1.0:0.0001:2。0];z=a（1）+a(2）*x+a（3）＊x.^2+a(4）＊x。^3;plot(x，z) legend(’离散点’,’y=a(1）+a(2)＊x+a(3）＊x.^2+a（4）＊x.^3')title(’拟合图’）
