第5讲数列的综合应用VIP专享VIP免费

第5讲数列的综合应用一、填空题1．已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.解析因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－a＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)，又{bn}为等比数列，所以b6b8＝b＝a＝16.答案162．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.解析n为奇数时，a1＝a3＝a5＝…＝a99＝1；n为偶数时，a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a100＝2＋49×2＝100.所以S100＝(2＋4＋6＋…＋100)＋50＝＋50＝2600.答案26003．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝2，S30＝14，则S40＝________.解析设S20＝x，S40＝y，则由题意，得2，x－2,14－x，y－14成等比数列．于是由(x－2)2＝2(14－x)及x>0，得x＝6，所以y－14＝＝＝16，y＝30.答案304．等比数列{an}中，a1＝1，an＝(n＝3,4，…)，则{an}的前n项和为________．解析设an＝qn－1，则由an＝，得q2＝，解得q＝1或q＝－.所以an＝1或an＝n－1，从而Sn＝n或Sn＝＝.答案n或5．对正整数n，若曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为________．解析由题意，得y′＝nxn－1－(n＋1)xn，故曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线的斜率为k＝n2n－1－(n＋1)2n，切点为(2，－2n)，所以切线方程为y＋2n＝k(x－2)．令x＝0得an＝(n＋1)2n，即＝2n，则数列的前n项和为2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2.答案2n＋1－26．在数列{an}中，若a－a＝p(n≥1，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列；②{(－1)n}是等方差数列；③若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．解析①正确，因为a－a＝p，所以a－a＝－p，于是数列{a}为等差数列．②正确，因为(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n}为等方差数列．③正确，因为a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．答案①②③7．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.解析由题意知{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，四项－24,36，－54,81成等比数列，公式为q＝－，6q＝－9.答案－98．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝2am，则m＝________.解析(1)当公比q＝1时，2×9a1＝3a1＋6a1，则a1＝0，舍去．(2)当公比q≠1时，2×＝＋，∴2q6＝1＋q3，则2a2q6＝a2＋a2q3，即2a8＝a2＋a5，从而m＝8.答案89．若数列{an}，{bn}的通项公式分别是an＝(－1)n＋2010·a，bn＝2＋，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是________．解析由an＜bn，得(－1)n·a＜2－.若n为偶数，则a＜2－对任意正偶数成立，所以a＜2－＝；若n为奇数，则a＞－2－对任意正奇数成立，所以a≥－2.故－2≤a＜.答案10．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2009＋a2010＋a2011＝________.解析观察发现，a2n＝n，且当n为奇数时，a2n－1＋a2n＋1＝0，所以a2009＋a2010＋a2011＝0＋＝1005.答案1005二、解答题11．定义一种新运算*，满足n*k＝nλk－1(n，k∈N*，λ为非零常数)．(1)对于任意给定的k值，设an＝n*k(n∈N*)，求证：数列{an}是等差数列；(2)对于任意给定的n值，设bk＝n*k(k∈N*)，求证：数列{bk}是等比数列；(3)设cn＝n*n(n∈N*)，试求数列{cn}的前n项和Sn.(1)证明因为an＝n*k(n∈N*)，n*k＝nλk－1(n，k∈N*，λ为非零常数)，所以an＋1－an＝(n＋1)*k－n*k＝(n＋1)λk－1－nλk－1＝λk－1.又k∈N*，λ为非零常数，所以{an}是等差数列．(2)证明因为bk＝n*k(k∈N*)，n*k＝nλk－1(n，k∈N*，λ为非零常数)，所以＝＝＝λ.又λ为非零常数，所以{bk}是等比数列．(3)...