231直线与平面垂直的判定VIP专享VIP免费

2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1.理解直线与平面垂直的定义.2.通过直观感知,归纳直线与平面垂直的判定定理,并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.理解直线与平面所成的角的含义,会求直线与平面所成的角.1.直线与平面垂直任意一条直线l⊥α垂线垂面垂足2.直线与平面垂直的判定定理(1)文字语言：一条直线与一个平面内的_____________都垂直,则该直线与此平面垂直.(2)符号语言：______________________________.(3)图形语言：两条相交直线mnmnBmn，，，lll3.直线与平面所成的角(1)斜线：一条直线PA和一个平面α_____,但不和这个平面_____,这条直线叫做这个平面的斜线.相交垂直(2)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的_____,叫做这条直线和这个平面所成的角.②垂直：当直线AP垂直于平面α时,它们所成的角为_____;③平行或直线在平面内：当直线PA与平面α平行或在平面α内时,它们所成的角为____;④范围：直线与平面所成角的范围：______________.射影锐角90°0°0°≤θ≤90°1.“”判一判理清知识的疑惑点(“√”正确的打,错误的打“×”).(1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面.()(2)如果一条直线不垂直于一个平面,那么这条直线不垂直于这个平面内的任意直线.()(3)两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线一定平行.()提示：(1)错误.当这两条直线是相交直线时,可以得到这条直线垂直于这个平面.(2)错误.直线在平面内或者和平面平行或者和平面斜交,都能找到和这条直线垂直的直线.(3)错误.两条直线和一个平面所成的角相等,这两条直线相交、平行、异面都有可能.答案：(1)×(2)×(3)×2.“”练一练尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)过直线外一点可作条直线与该直线平行,可作条直线与该直线垂直;过平面外一点可作条直线与该平面平行,可作条直线与该平面垂直.(2)已知直线m,n是异面直线,且m∥α,n∥α,直线l⊥m,l⊥n,则l与α的位置关系是.(3)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1与平面BB1C1C所成的角为.【解析】(1)过直线外一点与该直线平行的直线只有一条,垂直的直线有无数条,可能相交,也可能不相交.过平面外一点有无数条直线与平面平行,垂直只有一条.答案：1无数无数1(2)由于直线m,n是异面直线,且m∥α,n∥α,则平面α内存在相交直线分别和m,n平行,且和直线l垂直,故l⊥α.答案：垂直(3)因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以A1B1⊥平面BB1C1C,所以B1C1是A1C1在平面BB1C1C内的射影,所以∠A1C1B1为A1C1与平面BB1C1C所成的角,因为A1B1C1D1是正方形,所以∠A1C1B1=45°,即A1C1与平面BB1C1C所成的角为45°.答案：45°一、直线与平面垂直的定义根据直线与平面垂直的图形表示,并结合直线与平面垂直的定义,探究下列问题：探究1：如果直线l与平面α内的一条直线垂直,则直线l与平面α互相垂直吗?提示：根据直线与平面垂直的定义,只有直线l与平面α内的任意一条直线都垂直时,直线l才与平面α垂直.若直线l与平面α内的一条直线垂直,则不能判定直线l与平面α垂直.如图：探究2：如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α互相垂直吗?提示：(1)当这无数条直线为平行直线时,不能判定直线l与平面α互相垂直.如图：(2)当这无数条直线存在相交直线时,则直线l与平面α垂直.【探究提升】直线与平面垂直的定义理解时的三个注意点(1)定义中的“任意一条直线”与“所有直线”意义相同,但与“无数条直线”不同.(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.(3)图形反映的是线面垂直的直观图,要理解其中的线面关系本质,即若a⊥α,mα,⊂则a⊥m.【拓展延伸】线面垂直的其他性质(1)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.(2)过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.二、直线与平面垂直的判定定理根据直线与平面垂直的判定定理的符号表示：l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α,思考下列问题：探究1：若将条件中的a∩b=P去掉,结论是否成立?提示：如果两条直线平行,则直线l不一定与平面α垂直,如图：如果两条直线相交,则直线l一定与平面α垂直.探究提示：考虑平...