圆的一般方程 (2)VIP免费

2.2圆的一般方程圆的标准方程222(xa)(yb)rxyOCM(x,y)圆心C(a,b),半径r若圆心为O（0，0），则圆的方程为：222xyr直线方程有不同的表示形式，那圆的方程呢？今天我们就来学习圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.1.掌握圆的一般方程，会由圆的一般方程确定圆的圆心、半径．（重点）2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程,会用待定系数法求圆的方程.（重点、难点）将圆的标准方程22222220xyaxbyabr+--++-=222()()xaybr-+-=展开得220xyDxEyF任何一个圆的方程都是二元二次方程探究点圆的一般方程思考：平面内任一圆的一般方程都是关于x，y的二元二次方程，反之是否成立呢?提示：不一定，圆的一般方程是关于x,y的二元二次方程，但二元二次方程不一定表示圆，如方程x2+2xy+y2=0，即x+y=0代表一条直线而不是一个圆.22(1)2410xyxy【解析】配方得220xyDxEyF不一定是圆22(1)(2)4xy以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆22(2)2460xyxy22(1)(2)1xy【解析】配方得不是圆想一想：以下两个方程都表示圆吗？方程220xyDxEyF++++=所表示的轨迹配方可得22224()()()224DEDEFxy+-+++=*（1）当2240DEF+->时，方程()*表示以(,)22DE--为圆心，22142DEF+-为半径的圆.（2）当2240DEF+-=时，方程()*只有一个实数解,22DExy=-=-，所以方程()*表示一个点(,)22DE--.（3）当2240DEF+-<时，方程()*没有实数解，所以方程()*不表示任何图形.总结：圆的一般方程方程称为圆的一般方程.220xyDxEyF22(40)DEF圆心为,半径为(,)22DE2214.2DEF思考:圆的一般方程与圆的标准方程的不同与特点?提示：(1)形式不同：(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）(2)圆的一般方程的特点:(a)x2,y2的系数为1(b)没有xy项(c)D2+E2-4F＞0例1.求过点M（-1，1），且圆心与已知圆C：x2+y2-4x+6y-3=0相同的圆的方程.解:将已知圆的方程化为标准方程(x-2)2+(y+3)2=16.圆心C的坐标为(2,-3),半径为4,故所求圆的半径为22||(21)(31)5.rCM所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.求下列各圆的半径和圆心坐标：(2)x2+y2+2by=0(b≠0).(1)x2+y2-6x=0.圆心为(0,-b),半径为圆心为(3,0),半径为3b【变式练习】例2.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并指出这个圆的半径和圆心坐标.将O,M1,M2的坐标代入圆的方程,得:0,20,42200,FDEFDEF解得:F=0,D=-8,E=6.解:设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,待定系数法所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,221452rDEF半径为圆心坐标为(4,-3).(1)根据题意选择圆的方程的形式———标准方程或一般方程.(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组;(3)解出a，b，r或D，E，F,代入标准方程或一般方程.用待定系数法求圆的方程的步骤:【提升总结】1.判断下列方程是不是表示圆：22(1)4640.xyxy22(2)(3)9xy以（2，3）为圆心，以3为半径的圆22(2)46130.xyxy22(2)(3)0xy表示点（2，3）2,3xy时等式成立，22(3)46150.xyxy22(2)(3)2xy不表示任何图形3.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3)为圆心,4为半径的圆.求D,E,F的值.答案:D=4,E=-6,F=-32.已知圆x2+y2-4x+2y-4=0,则圆心坐标、半径的长分别是（）A.(2,-1),3B.(-2,1),3C.(-2,-1),3D.(2,-1),9A4.求经过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程.待定系数法,答案:x2+y2-7x-3y+2=0.220xyDxEyF2222224()()(22440)DEDEFxDEFy1.圆的一般方程的形式及特点:2.利用待定系数法求圆的方程：设为22222方程(x-a)+(y-b)=r(或x+y+Dx+Ey+F=0)列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）不是什么人都可以交往的，慎交朋友。笑看人生潮起潮落，守住自己的心.