第十章曲线积分与曲面积分（第三部分）曲线积分习题解答一、对弧长的曲线积分1．计算，其中为摆线的一拱解由于,；而，故.2．计算曲线积分，其中为圆周．解圆周在极坐标下的方程为，则.故.3．计算，其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解积分曲线为闭曲线（如右图），可分解为，其中；；.故—1—.4.设螺旋线弹簧一圈的方程为，，，其中，它的线密度.求此线关于轴的转动惯量.分析本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应首先将所求的转动惯量用对弧长的曲线积分表示，然后计算积分即可。解所求的转动惯量为，而，故.二、对坐标的曲面积分1.计算曲线积分，其中为区域的边界，取逆时针方向。解令，．则，．即.由于．故利用格林公式，得.2.计算曲线积分．其中为曲线上从点—2—到点的一段弧。解补直线段：，从变到；并设闭曲线所围区域为（如图所示），则由Green公式，得：.又（：，从变到），故.3.设是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算曲线积分.分析因，，则，.故.由于与在原点处不连续，因此可知：（1）若给定的曲线所围成的闭区域不包括原点，则在此区域内曲线积分与路径无关；（2）若给定的曲线所围成的闭区域包括原点，那么、在所围成的闭区域上不满足格林公式（积分与路径无关的条件）。此时，我们可取一条特殊的封闭光滑曲线，在上应用Green公式，由此将上的曲线积分转化为上的曲线积分。解因，，则—3—，.故.（1）若给定的曲线围成的闭区域不包括原点.由知曲线积分与路径无关，故.（2）若给定的曲线所围成的闭区域包括原点，则取一条特殊的有向曲线（充分小），规定的方向为逆时针（如右图所示）。设所围城的区域为，则在上应用Green公式，得,所以.而.故.或利用参数方程计算：令：，，从到.所以.4.设在半平面内有力构成力场，其中为常数，，证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。分析由于场力沿路径所作的功为,所以证明场力所作的功与所取的路径无关的问题，实质上就是证明上述曲线积分与路径无关的问题。证明场力沿路径所作的功为.—4—令，；则.由于右半平面为单连通区域，且，所以场力所作的功与所取的路径无关。5．设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。(1)设为正向闭曲线，证明：；(2)求函数；(3)设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求．(1)证设，闭曲线由组成。设为不经过原点的光滑曲线，使得和分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线，由曲线积分的性质和题设条件知．所以，，即．(2)解令．从而有，—5—解得，.(3)解设为正向闭曲线所围区域，由(1)，利用Green公式和对称性，.—6—
