第9卷Vol。9曲靖师专学报JOURNAIJOFQUJINGNORMALCOLLEGE第1期No.l多元函‘数的凹凸性张国坤(会泽四中)摘要本文定义了多元函数的凹凸性概念,并给出其利定方法,最后把一元函数的詹生(Jensen)不等式推广到多元函数上去.关键词凹凸性多元函数不等式定义1设D是n维空间的一个区域,若P(xl,、,⋯,、)eD,P,(xi,xZ,⋯,xn)〔n,则Q(x,+e(x;一x:),、2+e(x三一x:),⋯,xn+8(x孟一xn))任D,则称n是凸区域,否则称D为凹区域.定义2设r(P)是定义在凸区域D上的函数,Pl(x;:,xl2,与)是D上的任意两点,记Pn一r兰塑李兰卫,兰塑老兰叁,一’、Z乙xnl)、X一+X022PZ(x12,x22,(I)若恒有合。式,1)+.成。2)1;.,,。)(或合L兀,1)+.兀,2)1、.;;。),且等号不恒成立,则称f在D上是凹(或凸)的:(2)若[F(p,)+f(p2)l/2>f(p。)或[f(p1)+f(p2)]/2o或c>o时,函数f在D上上凹;当A0或C>O时,f在D上严格上凹,当八0或C>o时,M*(o,有f(p;)A>o或C>0时,M,>0,有r(pl)+f(pZ)>Zf(p。),利用泰勒公式,我们不难证明+(PZ))Zf(po),当△<0且定理得证.*收稿日期:I夕夕0一04一18曲靖师专学报自然科学版I夕90年第I期f总第吞期)定理2设大x,力是凸区域D上的具有二阶连续编导数的二元函数;(l)设.八,总能分解成几,=士以19(x,y).人(x,y),,并且儿二)19(x,y)l,.石,)I六(x,y)l(或八二(一】g!,.石,簇一lhl),则.浓D上是上凹(凸)的;(2)设(l)的条件成立并且关于儿xl与.石,的两个不等式中,等号始终不同时取得,则.浓D上是严格上凹(凸)的;(3)若尤二~.尤,~.石,二0,则.胜D上是线性的.定理1和定理2显然不难推广到一般的元函数中去,这里不在累述.定理3设f是凸区域D上的n元函数,D,=f(xl,xZ,⋯,x刹(x1,xZ,⋯,xn)呀D,且an+l+艺a‘x,=0,a,是任意常数}是D中的任意平面区域;(l)f在D上上凹(凸)等价于r在D,上上凹(凸)或线性,但非恒线性的;(2)f在D上严格上凹(凸)的等价于r在D,上是严格上凹(凸)的;(3)f在D上是线性的等价于f在D,上是线性的.证明:(只证严格上凹的情形)设f在D内任何平面区域D;上均是严格上凹的,对D上任何两点Pl、PZ,过P;、P:总有一平面区域D,,由于f在DI上严格上凹,故有代Pl)+r(P2)>2f(P0),因而f在D上严格上凹.反之,若f在D上严格上凹,显然在任何D;上也是严格上凹.定理4(Jcnscn不等式的推广)设f(x,y)是凸区域D上的连续函数,任取n个正数pi,使艺p‘二1,任取Bi(xi,yi正D,i=1,2,⋯,n,记BO(xo,yo)=(艺p‘x‘,艺尹‘夕‘,H二艺刀‘天X‘,夕小K=式x。,y。).(1)若f在D上是上凹(凸)I一1‘一1的,则H>K(H《K);(2)若f在D上是严格上凹(凸)的,且B。至少有两点不同,则H>K(H
