2019-2020年北师大版数学选修2-2讲义：第2章+§22.1导数的概念+2.2导数的几何意义及答案-1-/10§2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义学习目标核心素养1．理解导数的概念及导数的几何意义．(重、难点)2．会求导数及理解导数的实际意义．(重点)3.掌握利用导数求切线方程的方法．(难点)1．通过导数几何意义的学习，培养了学生直观想象的核心素养.2．通过求函数的导数的学习，提升了学生数学运算的核心素养.3.通过导数实际意义的学习，培养了学生数学抽象的核心素养.1．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0fx1－fx0x1－x0＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义．1．设函数y＝f(x)可导，则limΔx→0f1＋Δx－f1Δx等于()A．f′(1)B．3f′(1)C．13f′(1)D．以上都不对A[由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.]2019-2020年北师大版数学选修2-2讲义：第2章+§22.1导数的概念+2.2导数的几何意义及答案-2-/102．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在A[由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．]3．抛物线y＝x2＋4在点(－2,8)处的切线方程为__________．4x＋y＝0[因为y′＝limΔx→0x＋Δx2＋4－x2＋4Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，所以k＝－4，故所求切线方程为4x＋y＝0.]求函数在某点处的导数【例1】(1)若limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝k，则limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx等于()A．2kB．kC．12kD．以上都不是(2)函数y＝x在x＝1处的导数是________．(3)求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．思路探究：根据导数的概念求解．(1)A(2)12[(1)limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝2limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx2019-2020年北师大版数学选修2-2讲义：第2章+§22.1导数的概念+2.2导数的几何意义及答案-3-/10＝2limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx＝2k.(2) Δy＝1＋Δx－1，∴ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，当Δx趋于0时，ΔyΔx＝11＋Δx＋1趋于12，∴函数y＝x在x＝1处的导数为12.](3)[解] f(x)＝2x2＋4x，∴Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx.∴ΔyΔx＝2Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.当Δx趋于0时，ΔyΔx＝16，∴f′(3)＝16.1．本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出．切忌算到1＋Δx－1Δx时，就下结论：当Δx趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定．2．计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤(1)计算Δy；(2)计算ΔyΔx；(3)计算limΔx→0ΔyΔx.1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是()A．1B．－1C．±1D．332019-2020年北师大版数学选修2-2讲义：第2章+§22.1导数的概念+2.2导数的几何意义及答案-4-/10C[ Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴ΔyΔx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝limΔx→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20，由f′(x0)＝3，得3x20＝3，∴x0＝±1．]求曲线在某点处切线的方程【例2】已知曲线C：f(x)＝13x3＋43.(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？思路探究：(1)先求切点坐标，再求f′(2)，最后利用导数的几何意义写出切线方程．(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．[解](1)将x＝2代入曲线C的方程得f(2)＝4，∴切点P(2,4)．f′(2)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0132＋Δx3＋43－13×23－43Δx＝limΔx→0[4＋2Δx＋13(Δx)2]＝4.∴k＝f′(2)＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)由y＝4x－4，y＝13x3＋43，可得(x－2)(x2＋2x－8)＝0，解得x1＝2，x2＝－4.2019-2020年北师大版数学选修2-2讲义：第2章+§22.1导数的概念+2.2导数的几何意义及答案-5-/10从...
