二项展开式系数与二项式系数VIP免费

二项展开式系数与二项式系数3月14日知识回顾与复习1.mnnmnCC；2.11mnmnmnCCC；递推可得：111(,,*)NrrrrrrnnCCCCnrnr．3．二项式定理：011222()(*)NnnnnrnrrnnnnnnnabCaCabCabCabCbn特殊化：（１）0122(1)(*)NnnnnnnnxCCxCxCxn；（２）nnnnnnnnnnCCCCCC212210．（３）02413512nnnnnnnCCCCCC（规定rn时，0rnC）4．二项展开式通项公式：rrnrnrbaCT1（r=0,1,2,…,n）．注意事项：（１）rk对应的是展开式第1k项；（２）展开式某一项系数与二项式系数是不同的概念，展开式某一项二项式系数大小只与幂指数n有关，而展开式某一项的系数大小不仅与幂指数n有关，还与,ab有关，在一些特殊情况下，展开式某一项系数与二项式系数相同（什么时候？）．问题研究１．请把数字1及12345(),(),(),(),(),ababababab展开式的二项式系数按一定方式排列，选择合适的观察角度，看看这些二项式系数分布有哪些特点，并作简要解释。()nab展开式的二项式系数依次为012,,,,,,rnnnnnnCCCCC，1()ab展开式的二项式系数依次为0111,CC，即1,1；2()ab展开式的二项式系数依次为012222,,CCC，即1,2,1；3()ab展开式的二项式系数依次为01233333,,,CCCC，即1,3,3,1；4()ab展开式的二项式系数依次为0123444444,,,,CCCCC，即1,4,6,4,1；5()ab展开式的二项式系数依次为012345555555,,,,,CCCCCC，即1,5,10,10,5,1；1111211331146411510105111112113311464115101051排列方式一排列方式二11235813将展开式每一项的二项式系数乘以(n+1),再取倒数,可得到下列数表:莱布尼茨三角数表11112113311464115101051认识杨辉三角杨辉三角很好地表达了二项式系数局部与整体的关系,如果只看每一横行,那么我们就只见树木,不见森林了,无法很好体会二项式系数之间的递推性和生成性.杨辉三角历史北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。11世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（TriangolodiTartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。布莱士·帕斯卡的著作Traitédutrianglearithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，PierreRaymonddeMontmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinesetriangle）二项式系数两个基本性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnnmnCC；（2）增减性与最大值：当12nr时，二项式系数Crn的值逐渐增大，当12nr时,Crn的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第2n＋1项）的二项式系数2nnC取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第21n和21n＋1项）的二项式系数1122nnnnCC相等并同时取最大值。当n为偶数2k时，展开式共有21k项，正中间二项式系数为knC为．1!!()!(1)!(1)!!1rnrnnrnrnrrnrnrCC，111110,1,,1,122rnrnnrnrkrkrCC因此011kknnnnCCCC，11111,1,,122rnrnnrnrkrkknrCC，因此11kknnnnnnCCCC．从上可以看出：正中间第1k项二项式系数knC最大．解决下列问题１．8(1)x展开式第几项二项式系数最大？２．8(1)x展开式第几项系数最大？第几项系数最小？如果把上述两个问题的8次方改为9次方,答案应是什么?３．841()2xx展开式第1r项的二项式系数为多少？展开式第1r项的系数为多少？４．841()2xx展...