1.5.2二项式系数的性质及应用（一）

1.5.21.5.2 二项式系数的二项式系数的性质及应用性质及应用 一般地，对于 n N* 有011222()nnnnnnnrn rrnnnnabC aC abC abC abC b二项定理 :一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？ 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示： nba)( 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1)(ba 2)(ba 3)(ba 4)(ba 5)(ba 6)(ba ()nab …… …… ……0111C C012222C C C01233333C C C C0123444444C C C C C012345555555C C C C C C01234566666666C C C C C C C0121......rnnnnnnnnC C CCCC0)(ba 00C1 二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是： nba)( nnnnnC,,C,C,C210 当 时，其图象是右图中的 7 个孤立点．6n（ 1 ）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到．mnnmnCC图象的对称轴：2nr  (a+b)1…………… 1 1(a+b)2……………1 2 1(a+b)3…………1 3 3 1(a+b)4………1 4 6 4 1(a+b)5……1 5 10 10 5 1(a+b)6…1 6 15 20 15 6 131015 不难发现 , 表中每行两端都是 1 ，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 . 事实上，设表中任一不为 1 的数为 Cn+1r ，那么它肩上的两个数分别为 Cnr-1 及 Cnr ，知道 Cn+1r = Cnr-1+Cnr 这就是组合数的性质 (2). 二项式系数的性质二项式系数的性质（ 3 ）增减性与最大值 rrnrrrnrnnnnrnrn1)!1()1(2)2)(1(1CC由于：所以 相对于 的增减情况由 决定． rnC1rnCrrn1 二项式系数的性质二项式系数的性质（ 3 ）增减性与最大值 由：2111nrrrn 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 21 nr 可知，当 时， 二项式系数的性质二项式系数的性质（ 3 ）增减性与最大值 因此，当 n 为偶数时，中间一项的二项式2Cnn系数 取得最大值； 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数 、21Cnn21Cnn 相等，且同时取得最大值。 （ 4 ）各二项式系数的和 二项式系数的性质二项式系数的性质在二项式定理中，令 ，则： 1bannnnnn...