算术-几何平均值不等式信息来源：维基百科在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。例子在的情况，设:，那么.可见。历史上的证明历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。但是，，因此上式正好变成也就是说综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（GeorgeChrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。根据二项式定理，于是完成了从到的证明。此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在的情况下有不等式和成立，于是：所以，从而有。基于琴生不等式的证明注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。基于排序不等式的证明令，于是有，再作代换，运用排序不等式得到：，于是得到，即原不等式成立。此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。推广算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。加权算术-几何平均不等式不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设和为正实数，并且，那么：。加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。矩阵形式算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：对于系数都是正实数的矩阵设，，那么有：也就是说：对个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对个横行取的个几何平均数的算术平均。极限形式也称为积分形式：对任意在区间上可积的正值函数，都有这实际上是在算术-几何平均值不等式取成后，将两边的黎曼和中的趋于无穷大后得到的形式。参考来源1.^Augustin-LouisCauchy,Coursd'analysedel'ÉcoleRoyalePolytechnique,premierpartie,Analysealgébrique,Paris,1821.p457.2.^GeorgeChrystal,Algebra:AnElementaryText-Book,PartII,ChapterXXIV.p46.3.^P.H.Diananda,ASimpleProofoftheArithmeticMeanGeometricMeanInequality,TheAmericanMathematicalMonthly,Vol.67,No.10(Dec.,1960),pp.1007匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。莫里斯·克莱因（MorrisKline），张理京张锦炎江泽涵译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。
