几何证明压轴题（中考）

几何证明压轴题（中考）1、如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BCD=90°,且 AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1) 求证：DC=BC;(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；(3) 在（2）的条件下，当 BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求 sin∠BFE 的值. [解析] （1）过 A 作 DC 的垂线 AM 交 DC 于 M,则 AM=BC=2.又 tan∠ADC=2,所以.即 DC=BC.(2)等腰三角形.证明：因为.所以，△DEC≌△BFC所以，.所以，即△ECF 是等腰直角三角形.（3）设,则，所以.因为，又，所以.所以所以1sin33kBFEk.2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AG∥DB 交 CB的延长线于 G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．[解析] （1） 四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ． 点 E 、F 分别是 AB、CD 的中点，∴AE＝AB ，CF＝CD ．∴AE＝CF∴△ADE≌△CBF ． （2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形． 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC ．EBFCDA AG∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形． 四边形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ． AE＝BE ，∴AE＝BE＝DE ．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB＝90°． ∴四边形 AGBD 是矩形3、如图 13－1，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O（点 O 也是 BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图 13－2，当 EF 与 AB 相交于点 M，GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测量BM，FN 的长度，猜想 BM，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺 GEF 旋转到如图 13－3 所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交于点 M，线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．[解析]（1）BM=FN． 证明： △GEF 是等腰直角三角形，四边形 ABCD 是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又 ∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN． （2）BM=FN 仍然成立． （3）证明： △GE...