第31卷第2期2015年4月大学数学CoLLEGEMATHEMATICSVo1．31。№．2Apr．2015基于分布函数的混合型随机变量数学期望和方差的计算宁荣健，余丙森(合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009)[摘要]在文献[1]的基础上，利用分布函数，介绍一种适合工科概率论教学的混合型随机变量的数学期望和方差的计算方法．[关键词]分布函数；混合型随机变量；数学期望；方差[中图分类号]O211．3[文献标识码]C[3t章编号]1672-1454(2015)02—0048-051问题的提出在工科概率论的教学过程中，我们介绍了F歹U例题．例设随机变量X～u[-1，2]，Y—max{X，1}，求EY和DY．解由题意知X密度函数为，、l÷，一1≤z≤2，厂(z)一l’z’l0，其它，利用一维连续型随机变量函数的数学期望计算公式得一』：m，)厂()一．f{，}·1EYmax{x1dxmaxx1+dx一-f1·+dx1+1·告dz===吾．一I，)厂()一I{，}·一I·+l·÷dz===古．J一∞J1uJuJ．)o)一』二’1}))一厂’1)1E(Y(max{x1dx(max{x一·+dx+·+dx111一萼，)一I，})。，()一I，1))·dlz—I1。·+Iz·一，J⋯JOJuJu故DY—E(Y)一(Ey)。一萼一(舌)一1．但是，有些学生求得y的分布函数为fO，<1，Fy()一{，1≤<2，l，≥2，似乎得出Y的密度函数为SY(Y)一J寺'≤<2'【0，其它，进而计算得EY一1，Dy===丽19．两种解法结果不一样．其原因在于本例中的y为既非离散型又非连续[收稿日期]2014—0915第2期宁荣健，等：基于分布函数的混合型随机变量数学期望和方差的计算49型随机变量(称为混合型随机变量)，不存在密度函数(注：前面求出的fr(．y)不满足密度函数的性质，并非密度函数)，因此，后面的解法是错误的．目前诸多工科概率论与数理统计教材中，只给出了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望定义及相关计算，对于混合型随机变量的数学期望并没有介绍，使得在教学中有所欠缺．事实上，对于任意的随机变量x，其分布函数F(z)一P{X≤z}，z∈R完全反映了其分布情况，包含了分布的所有信息，自然也确定了其数学期望是否存在，以及数学期望存在时数学期望的取值．那么如何利用分布函数F()来研究x的数学期望呢?在文献[1]中，通过Lebesgue—Stieltjes积分给出了任意随机变量数学期望的一般定义．定义1设X是定义在概率空问(，，P)上的随机变量，F()为x的分布函数，如果I11dF(x)收敛，就称IxdF(x)为X的数学期望，记为EX，即EX—J—xdF(·并且文献[1]还给出了下列结论．定理1设随机变量x的分布函数为F(z)，g(z)为Borel可测函数，如果lJg(z)JdF(x)收敛，则EEg(X)]一Ig(x)dF(x)．特别地E(X)一IaT．。dF()．J一。。因此D一(x)一(EX)一j’,Z2XEEdF(z)一(，：xdF(z))．D一(x)一(一I(z)一(I(z))．JcoJ。。显然定义1和定理1中的Lebesgue—Stieltjes积分的计算很不方便，因此需要寻求一个适合工科教学的、通俗易懂的随机变量数学期望和方差的计算方法．2主要结论定理2L1设随机变量X的分布函数为F(z)，如果IF(z)dx和I[1一F(z)]dx都收敛，则EX存在，且EX一一JF(-z)dx+I[1一F(z)]dx．从几何上讲，IF(z)dx表示曲线y—F(z)，z轴的左半轴和Y轴所围平面图形的面积(如图l中Y轴左边阴影部分的面积)；I[1一F()]dx表示曲线—F(z)，半直线Y一1(z≥o)轴和Y所围平面图形的面积(如图1中轴右边阴影部分的面积)．因此，定理2中EX一一IF(_z)dx+lE1一F(z)]dz的几何意义为：数学期望EX等于图1中y轴右边阴影部分的面积减去y轴左边阴影部分的面积．利用积分换元法，并考虑到F(．z)处处右连续，F(～-z)处处左连续，可得focor+。。IF()dx—IF(x+o)dx—IF(-z—O)dx，J一。。J一∞J050大学数学第31卷Y；0—rDI．．t{t2t10屯l，D圈1其中F(x+O)表示F(z)在点处的右极限；F(-一0)表示F()在点一z处的左极限．因此EX—I[1一F(z)一F(-z一0)]dz．由于F()只有可列个间断点，故EX：I[1一F(z)一F(-x)]dx．推论1设随机变量X的分布函数为F()，如果X的取值非负，且r+[1一F(z)]如收敛，则EX：I[1一F(z)]dx；如果X的取值非正，且lF(x)dx收敛，则EX=一-『。。F(z)d．证如果X的取值非负，则当X<0时，F()=0；如果X的取值非正，则当>0时，F(z)一1，因此由定理2即得推论1．定理3设随机变量X的分布函数为F()，如果I[1一F()+F(-z)]收敛，则E(X)一l2x[1一F()+F(...
