1/100十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第七章微分方程习题7-1微分方程的基本概念1.试说出下列各微分方程的阶数:解:(1)一阶;(2)二阶;(3)三阶;(4)一阶;(5)二阶;(6)一阶.2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:解:(1)根据y=5x2,得y′=10x,xy′=10x2=2y,所以y=5x2是所给微分方程的解.(2)根据y=3sinx-4cosx,得y′=3cosx+4sinx,进而得y″=-3sinx+4cosx则所以y=3sinx-4cosx是所给微分方程的解.(3)根据y=x2ex,得2/100十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书进而得则所以y=x2ex不是所给微分方程的解.(4)根据,得,进而得则所以是所给微分方程的解.3.在下列各题中,验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:解:(1)在方程x2-xy+y2=C两端对x求导,得即所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解.(2)在方程y=ln(xy)两端对x求导,得即(xy-x)y′-y=0,再在上式两端对x求导,得即.所以所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解.3/100十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书4.在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,使函数满足所给的初值条件:解:(1)根据y|x=0=5,将x=0,y=5代入函数关系中,得C=-25,即x2-y2=-25(2)根据,得将x=0,y=0及y′=1代入以上两式,得所以C1=0,C2=1,y=xe2x.(3)根据y=C1sin(x-C2),得将x=π,y=1及y′=0代入以上两式,得根据①2+②2得,不妨取C1=1,根据①式得,所以5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;4/100十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书(2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分.解:(1)假设曲线方程为y=y(x),它在点(x,y)处的切线斜率为y′,依条件有y′=x2此为曲线方程所满足的微分方程.(2)假设曲线方程为y=y(x),因它在点P(x,y)处的切线斜率为y′,所以该点处法线斜率为.由条件知PQ之中点位于y轴上,所以点Q的坐标是(-x,0),则有即微分方程为yy′+2x=0.6.用微分方程表示一物理命题:某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比,与温度的平方成反比.解:因为与P成正比,与T2成反比,如果比例系数为k,则有7.一个半球体形状的雪堆,其体积融化率与半球面面积A成正比,比例系数k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状,已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的;问雪堆全部融化需要多少时间?解:假设雪堆在时刻t的体积为,侧面积S=2πr2.根据题设知5/100十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书则积分得r=-kt+C根据r|t=0=r0,得C=r0,r=r0-kt.又,即得,从而因雪堆全部融化时,r=0,所以得t=6,即雪堆全部融化需6小时.习题7-2可分离变量的微分方程1.求下列微分方程的通解:解:(1)原方程为,分离变量得两端积分得6/100十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书即lny=±C1x,所以通解为lny=Cx,即y=eCx.(2)原方程可写成5y′=3x2+5x,积分得,即通解为(3)原方程为,分离变量得两端积分得arcsiny=arcsinx+C,即为原方程的通解.(4)原方程可写成,分离变量得两端积分得即是原方程的通解.(5)原方程分离变量,得两端积分得可写成,即tany·tanx=±C1,所以原方程的通解为tany·tanx=C(6)原方程分离变量,得10-ydy=10xdx,两端积分得可写成.(7)原方程为分离变量得