1李堡中学国庆数学文科作业五1.已知点A(6,2)，B(1,14)，则与AB反向的单位向量为(－，)或(，－)2.已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ的值为3.在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则向量BD的坐标为(－3，－5)．4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC＝OA＋OB，则＝______.5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标为D1(－3，－5)．D2(5，－5)．D3(1,5)．6.在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于(－6,21)7.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.60°8.若0≤sinα≤，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是∪.9.已知函数f(x)＝2sinx，g(x)＝2sin，直线x＝m与f(x)，g(x)的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为________．210.曲线y＝2sincos与直线y＝在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|＝________.π11.在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM＝tCP，试求t的值．解∵CP＝CA＋CB，∴3CP＝2CA＋CB，即2CP－2CA＝CB－CP，∴2AP＝PB，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴设CM＝xCQ＋(1－x)CA＝CB＋(x－1)AC，而CB＝AB－AC，∴CM＝AB＋(－1)AC.又CP＝AP－AC＝AB－AC，由已知CM＝tCP可得，AB＋(－1)AC＝t(AB－AC)，∴，解得t＝.12.如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；(2)设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：＋是定值．(1)解OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝OP＋λ(OQ－OP)＝(1－λ)OP＋λOQ.2(2)证明一方面，由(1)，得OG＝(1－λ)OP＋λOQ＝(1－λ)xOA＋λyOB；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴OG＝OM＝×(OA＋OB)＝OA＋OB.②而OA，OB不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．13.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．解以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B(－，)，设∠AOC＝α(α∈[0，])，则C(cosα，sinα)，由OC＝xOA＋yOB，得，所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin(α＋)，又α∈[0，]，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.14.已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋tAB，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解(1)∵OA＝(1,2)，AB＝(3,3)，∴OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－；若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－；若点P在第三象限，则解得t<－.(2)若四边形OABP为平行四边形，则OP＝AB，∴∵该方程组无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形．
